Convergenza di una serie a termini positivi e ordine di infinitesimo del termine generale.

[leonardo_mutti]

Salve, sto indagando la relazione tra le proposizioni \(\displaystyle \sum^\infty a_{n}\in \mathbb{R}\) e \(\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right) \wedge n\rightarrow\infty \), nell'ipotesi che \(\displaystyle \sum^\infty a_{n} \) sia una serie a termini positivi.
Penso di essere riuscito a dimostrare che \(\displaystyle \sum^\infty a_{n}\in \mathbb{R}\Rightarrow a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right) \wedge n\rightarrow\infty \)

Infatti, sia per assurdo \(\displaystyle a_{n}\neq o\left(\frac{1}{n}\right) \wedge n\rightarrow\infty \). Supponendo l'esistenza del limite \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{1/n} \) si presentano due casi:
1) \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{1/n}\in\mathbb{R}\Rightarrow\sum^\infty a_{n}\not\in\mathbb{R} \) poichè per il criterio del confronto asintotico le due serie \(\displaystyle \sum^\infty a_{n} \) e \(\displaystyle \sum^\infty \frac{1}{n} \) hanno lo stesso carattere.
2) \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{1/n}\not\in\mathbb{R} \Rightarrow \sum^\infty a_{n}\not\in\mathbb{R}\) poichè \(\displaystyle \exists k \ \ n>k \Rightarrow a_{n}>\frac{1}{n} \), quindi per il criterio del confronto la serie \(\displaystyle \sum^\infty a_{n} \) non converge.

Quindi l'implicazione \(\displaystyle \Rightarrow \) è dimostrata, nell'ipotesi di esistenza del limite \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{a_{n}}{1/n} \). Qui si presenta il primo problema, ovvero non riesco a trattare il caso di non esistenza del limite.


Per l'implicazione \(\displaystyle \Leftarrow \) invece non ho alcuna idea, il che costituisce il secondo problema.

Come potrei superare questi due ostacoli?
Grazie in anticipo!

[coffee]

Ciao! Se non e' vero che $\lim_{n\to\infty} na_n = 0$, allora esiste almeno una successione strettamente crescente $\{n_k\}_k$ di naturali tale che $\lim_{k\to\infty} n_k a_{n_k} > 0$. Per il ragionamento che hai fatto, $\sum_{k=0}^{\infty} a_{n_k} = +\infty$ e quindi $\sum_{n=0}^{\infty} a_n = +\infty$.

Purtroppo o per fortuna, l'implicazione inversa invece e' falsa

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per dimostrare che la serie armonica diverge di solito si osserva che vale \[ 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \geq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots \] e che la serie a secondo membro diverge. Adesso che sappiamo che la serie armonica diverge, possiamo mettere lei a secondo membro, cioe' osservare che vale \[ 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{2}{9} + \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \left(\frac{2}{45} + \cdots + \frac{1}{40}\right) + \cdots \geq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots \] Quello che stava nella prima parentesi e' stato moltiplicato per $2/3$, quello che stava nella seconda per $1/2$, quello che stava nella terza per $2/5$ e cosi' via: cosi' abbiamo una successione $\{a_n\}_n$ tale che $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = +\infty$ ma che soddisfa $a_n = o(1/n)$.

[leonardo_mutti]

Ciao, grazie per la risposta!
La prima parte del tuo argomento mi è molto chiara, però non capisco come hai fatto ad ottenere la successione \(\displaystyle \left\{a_{n}\right\} \) tale che \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_n = +\infty \) e che \(\displaystyle a_n = o(1/n) \).
Nel frattempo mi era venuto in mente un procedimento per dimostrare l'implicazione \(\displaystyle \Leftarrow \), il seguente:

supposto che \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n} \), sia \(\displaystyle \varepsilon \) l'ordine di infinitesimo di \(\displaystyle \frac{1}{n} \). Si ha che \(\displaystyle a_n = o\left(\frac{1}{n}\right) \Rightarrow\varepsilon>1 \). Si può allora concludere per il criterio del confronto che \( \displaystyle \sum^\infty a_{n}\in \mathbb{R} \) perchè \(\displaystyle a_{n}<\frac{1}{n^x}, 1<x<\varepsilon \). L'implicazione falsa quindi ho commesso un errore, ma non lo riesco a trovare...

[coffee]

La successione $\{a_n\}_{n\geq 1}$ è costruita prendendo $a_n=1$ e poi, per ogni $n\geq 2$, \[ a_n = \frac{2}{k}\cdot\frac{1}{n} \] dove $k$ è l'intero positivo tale che $2^{k-2} < n \leq 2^{k-1}$. Siccome $k$ dipende da $n$ ed è dello stesso ordine di grandezza di $\log_2 n$ per $n\to\infty$, abbiamo \[ \frac{a_n}{1/n} = \frac{2}{k} \to 0 \] per $n\to\infty$. Raggruppo i termini in modo da scrivere \[ a_1 = 1 \] \[ a_2 = \frac{1}{2} \] \[ a_3 + a_4 = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) \geq \frac{1}{3} \] \[ a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) \geq \frac{1}{4} \] e così via, a ottenere $\sum_{n=1}^{2^m} a_n \geq \sum_{n=1}^m \frac{1}{n}$.

La successione $\{a_n\}_n$ costruita in questo modo è tale che $a_n = o(\frac{1}{n})$, ma vale anche $n^{-x} = o(a_n)$ per ogni $x>1$: l'errore che fai è supporre che $a_n=o(n^{-1})$ implichi anche $a_n=o(n^{-x})$ per ogni $x\in(1,\epsilon)$ per qualche $\epsilon>1$, il che è falso.