Siano $X,Y$ due variabili indipendenti e rispettivamente distribuite come $N(\mu_X,\sigma^2)$ e $N(\mu_Y,\sigma^2)$ (quindi con la stessa varianza). Siano $(X_1,...,X_{n_X})$ e $(Y_1,...,Y_{n_Y})$ due campioni aleatori i.i.d. relativi alle variabili $X$ e $Y$.
Bisogna provare che $W:=((n_X -1)S_X^2 + (n_Y-1)S_Y^2)/(n_X + n_Y +2)$ è uno stimatore non distorto per $\sigma^2$, con $S_X^2$ e $S_Y^2$ le varianze campionarie di $X$ e $Y$ (facile, nessun problema) e determinare un intervallo di fiducia per $\mu_X - \mu_Y$ di livello $\alpha=0.90$.
Io avevo pensato di utilizzare come stimatore $\bar(X)^{(n_X)} - \bar(Y)^{(n_Y)}$, ovvero la differenza delle medie, che è uno stimatore non distorto per $\mu_X - \mu_Y$ e che ha varianza $(\sigma^2(n_X + n_Y))/(n_X n_Y)$, quindi stimabile con $(W(n_X+n_Y))/(n_X n_Y)$, e di procedere utilizzando la $t$ di Student per i quantili, ma non so se è giusto, anche penso di non poter utilizzare il quantile $t_{n_X-n_Y-1;1-0.90/2}$ se $n_X<n_Y$... come posso risolvere?
