Proiettile, pendolo e... giro della morte!

[goblinblue]

Buondì,

ancora una volta avrei bisogno di una mano con questo problema. Vi scrivo il testo, poi vi espongo i miei pensieri.

Problema. Un proiettile di massa m e velocità $v$ attraversa un blocco di massa $M$ e ne emerge con velocità $v/2$. La massa $M$ è appesa a un estremo di un filo inestensibile di lunghezza $l$ (n.b: il sistema è un pendolo). Si chiede il minimo valore di $v$ affinchè il pendolo possa compiere un giro completo.

Soluzione. $v_min = 2sqrt(5gl)M/m$
................omissis....per brevità................................................

P.S. Aggiungo che ho fatto qualche considerazione di tipo energetico, ma non mi hanno portato lontano... cercavo un modo intelligente di esprimere $v$ in funzione di $theta$, dove $theta$ è l'angolo che il filo forma con la verticale... ma naturalmente ho fatto un buco nell'acqua.

Ciao.
Mi sbaglierò probabilmente ma a mio parere, ricordando un esercizio ananlogo di fisica generale i, è più semplice risolvere il problema eguagliando l'energia cinetica rotazionale della Massa dopo l'urto con l'energia potenziale nel punto di altezza massima ( 2l) raggiungibile ovvero:

$ 1/2 I\omega^2 + Mg2l= 0$

dove $\omega^2=1/l^2 m^2/M^2 v_i ^2/4$
$I= Ml^2$
sostituendo e semplificando si ricava $v_i^2= 16 M^2/m^2 gl$ da cui $v_i= 4 M/m sqrt (gl) $
La tensione non è una forza dissipativa e pertanto non entra nel calcolo. Così mi pare corretto andrò a verificare comunque sul mio testo di fisica generale usato a suo tempo.
Ciao.

[Faussone]

Buondì,

ancora una volta avrei bisogno di una mano con questo problema. Vi scrivo il testo, poi vi espongo i miei pensieri.

Problema. Un proiettile di massa m e velocità $v$ attraversa un blocco di massa $M$ e ne emerge con velocità $v/2$. La massa $M$ è appesa a un estremo di un filo inestensibile di lunghezza $l$ (n.b: il sistema è un pendolo). Si chiede il minimo valore di $v$ affinchè il pendolo possa compiere un giro completo.

Soluzione. $v_min = 2sqrt(5gl)M/m$
................omissis....per brevità................................................

P.S. Aggiungo che ho fatto qualche considerazione di tipo energetico, ma non mi hanno portato lontano... cercavo un modo intelligente di esprimere $v$ in funzione di $theta$, dove $theta$ è l'angolo che il filo forma con la verticale... ma naturalmente ho fatto un buco nell'acqua.

Ciao.
Mi sbaglierò probabilmente ma a mio parere, ricordando un esercizio ananlogo di fisica generale i, è più semplice risolvere il problema eguagliando l'energia cinetica rotazionale della Massa dopo l'urto con l'energia potenziale nel punto di altezza massima ( 2l) raggiungibile ovvero:

$ 1/2 I\omega^2 + Mg2l= 0$

dove $\omega^2=1/l^2 m^2/M^2 v_i ^2/4$
$I= Ml^2$
sostituendo e semplificando si ricava $v_i^2= 16 M^2/m^2 gl$ da cui $v_i= 4 M/m sqrt (gl) $
La tensione non è una forza dissipativa e pertanto non entra nel calcolo. Così mi pare corretto andrò a verificare comunque sul mio testo di fisica generale usato a suo tempo.
Ciao.

Sbagliato. Se fai così la massa non farebbe il giro della morte perché la corda si affloscierebbe arrivando la massa in cima a velocità nulla.

[Paolo90]

Be' sì quando ho scritto l'equazione della tensione, dovevo avere il cervello in stand-by....
In realtà era per vedere se hai capito

Ah, ok.

Grazie mille ancora.

[goblinblue]

Buondì,

....omissis.........
Sbagliato. Se fai così la massa non farebbe il giro della morte perché la corda si affloscierebbe arrivando la massa in cima a velocità nulla.

Hai ragione; dal punto energetico debbo necessariamente considerare che la velocità tangenziale della massa sia diversa da zero e sufficiente a mantenere la tensione del filo inestensibile e quindi debbo sommare all'energia potenziale l'energia cinetica della massa M
intanto ricavo la velocità tangenziale dall'accelerazione centripeta tramite la disuguaglianza $ alpha=v_t^2/l >= g $ da cui $ v_t^2>=gl$ minima accelerazione necessaria a mantenere la tensione del filo;
poi aggiungo l'energia cinetica minima in alto data da $K=1/2 Mv_t^2$ e in questa sostituisco $ v_t^2>=gl$
Quindi dal punto di vista energetico l'energia cinetica iniziale minima deve essere
$ 1/2 I\omega^2 = Mg2l+1/2 Mgl= 5/2 Mgl $
come prima sostituisco anche

$\omega^2=1/l^2 m^2/M^2 v_i ^2/4$
$I= Ml^2$

e finalmente si ricava $v_i^2= 20 M^2/m^2 gl$ da cui $v_i= 2 M/m sqrt (5gl) $
Questo dal punto di vista energetico.
Grazie a Faussone per l'osservazione.
Ciao

[marcoianna]

questo problema sul web l'ho visto affrontato così.il risultato è lo stesso ma non utilizza il momento di inerzia.Solo che per quanto semplice non capisco come ha utilizzato la conservazione della quantità di moto.
$ mv=Mv(a)+mv/2 $

[marcoianna]

tutto chiaro. condizione iniziale e condizione finale nella conservazione della quantità di moto.
Ma nel caso del pendolo balistico? se il proiettile si ancorasse nel blocchetto (urto anelastico) come andrebbe esaminato?