Aiuto con 2 limiti

[Robert9669]

Il primo(mi serve solo una conferma)
$ lim_(x -> oo) (7n^n +2n!)/(5n^11 +3e^(nln(n)) $

Ho pensato di scrivere $3e^(nln(n)) $ come $e^ln((n)^n)$ che diventa $n^n$

quindi diventava
$ lim_(x -> oo) (7n^n +2n!)/(5n^11 +3n^n) $ (il rislutato dovrebbe essere $7/3$ io ho pensato essere così per la gerarchia degli infiniti cioè era asintotico a $(7n^n)/(3n^n)$ e si semplificava mentre sul libro c'era il primo passaggio suggerito che diceva che il numeratore poteva diventare $(7+(2n!)/(n^n))/(5n^11 +3e^(nln(n)))$ ovviamente 2n!si semplifica ma non mi spiego come si è arrivati la :V)

Il secondo limite dice:

calcolare $ lim_(x -> oo)(n-alpha )/(n+alpha) $ al variare di $alpha >0$ e qui non so proprio da dove partire

[cooper]

$(7+(2n!)/(n^n))/(5n^11 +3e^(nln(n)))$ ovviamente 2n!si semplifica ma non mi spiego come si è arrivati la :V)

a mio avviso manca un $n^n$ a numeratore che moltiplica ciò che hai scritto. se così fosse ha semplicemente raccolto l'infinito di ordine superiore che equivale a ciò che hai fatto tu nel secondo passaggio.
come l'hai risolto tu va comunque bene.
per il secondo limite:
usa la gerarchi di infiniti anche in questo caso. sai che $alpha$ è un numero mentre n tende ad infinito, quindi...

[Robert9669]

usa la gerarchi di infiniti anche in questo caso. sai che $alpha$ è un numero mentre n tende ad infinito, quindi...

ahhh ok sarebbe una forma $1^oo$ che si risolveva facendo


$ (1+ (n-alpha)/(n+alpha)-1)^n$ (ho dimenticato un ^n nel testo) quindi farebbe ( $(1 - (2alpha)/(n+alpha))^n$ ) e qui mi blocco

[cooper]

ok allora le cose cambiano un po'. riscriviamo il limite $ ((n-alpha)/(n+alpha))^n $ con l'esponenziale ottenendo:

$ e^(nln((n-alpha)/(n+alpha)) $

occupiamo ora dell'esponente. aggiungiamo e togliamo, nel numeratore dell'argomento del logaritmo, $alpha$.

$ ln((n-alpha+alpha -alpha)/(n+alpha))=ln((n+alpha)/(n+alpha)-(2alpha)/(n+alpha))=ln(1-(2alpha)/(n+alpha)) $

$ ln(1-(2alpha)/(n+alpha)) ~ (-2alpha)/(n+alpha) $

ci riconduciamo quindi ad avere:

$ ln(1-(2alpha)/(n+alpha)) ~ e^(n(-2alpha)/(n+alpha)) $

il denominatore dell'esponente si comporta come $n$ (per il discorso che ho fatto prima sulla gerarchia di infiniti). quindi ciò che rimane, che è poi il risultato del limite, è: $ e^(-2alpha) $

[Robert9669]

Cavolo non ci avevo pensato a applicare l'esponenziale qui!Grazie mille!