Funzione convessa/integrabile/infinitesima

[Pittul]

Buonasera,
Devo risolvere questo esercizio:

Se $ f in C [1, +oo) $ è tale che $ |f(x)|<=x^(-1/2) $ per $ x >=5 $, allora

1. f è convessa in $ [bar(x), +oo) $ per qualche $ bar(x)>1 $
2. f è infinitesima per $ x -> +oo $
3. f è integrabile in senso generalizzato in $ [1, +oo) $
4. f non è integrabile in senso generalizzato in $ [1, +oo) $ [/list]

Non so da dove dovrei iniziare a risolverlo. Come faccio a capire se è integrabile o meno in senso generalizzato?
Grazie mille

[dissonance]

Non si capisce cosa tu debba fare. Sono domande tipo vero/falso?

[Pittul]

Devo dire quale delle quattro risposte è quella giusta

[dissonance]

Va bene. Allora, intanto, cambia il titolo, "funzione convessa" è fuorviante. Poi comincia a dire un poco cosa hai pensato di fare. Riesci a rispondere ad almeno una delle domande?

[Pittul]

Mi rendo conto che sia un titolo bruttino, ma dato che è un esercizio a risposta multipla su vari argomenti non sono riuscita a trovarne uno più specifico (accetto suggerimenti).

Avevo pensato di risolverla facendo il limite per $ x-> +oo $ ed è venuta 0, quindi teoricamente la risposta giusta dovrebbe essere la 2. Il problema è che ho un altro esercizio quasi identico (cambia solo che f(x) è tra valore assoluto) e risolvendolo in questo modo non viene, quindi penso che il mio ragionamento sia sbagliato. Le altre tre opzioni non so come verificarle, magari per la prima potrei fare la derivata seconda della funzione e vedere la sua concavità/convessità?

[dissonance]

Secondo me non c'è solo una risposta giusta. Per la prima, chiaramente la risposta è "falso", ragiona graficamente e poi trova un controesempio. La terza e la quarta sono mutuamente esclusive, quindi una delle due deve essere vera! Quale?