vettori linearmente dipendenti/indipendenti

[jack1]

Una n-pla $(v_1, ... , v_n)$ di vettori dello spazio vettoriale $V$ è linearmente dipendente se e soltanto se:
[1]$dim L(v_1, ... , v_n) < n$
[2] uno dei vettori $v_i$ non e combinazione lineare dei restanti
[3] uno dei vettori $v_i$ è nullo
[4] i vettori $v_i$ non sono tutti distinti

Qualcuno sa darmi una spiegazione sulla risposta corretta? Grazie

[cooper]

io risponderei C, perchè in quel caso il rango della matrice formata dai vettori non sarà mai massimo. ciò che mi lascia perplesso è quel: "se e soltanto se". la risposta che ho dato, sotto questa luce, non andrebbe bene. infatti se i vettori sono tra loro dipndenti non è assolutamente vero che in generale uno dei vettori è nullo. pensa ad esempio ai vettori: $ ((1),(1)), ((2),(2)) $ . sono linearmente dipendenti ma nessuno dei due è il vettore nullo.

[jack1]

io risponderei C, perchè in quel caso il rango della matrice formata dai vettori non sarà mai massimo. ciò che mi lascia perplesso è quel: "se e soltanto se". la risposta che ho dato, sotto questa luce, non andrebbe bene. infatti se i vettori sono tra loro dipndenti non è assolutamente vero che in generale uno dei vettori è nullo. pensa ad esempio ai vettori: $ ((1),(1)), ((2),(2)) $ . sono linearmente dipendenti ma nessuno dei due è il vettore nullo.

Intanto grazie dell'aiuto. Io comunque direi la prima risposta, perchè dato che la dimensione è uguale al rango, se la dimensione è $<n$ allora il rango non è mai massimo e almeno un vettore è linearmente dipendente. Cosa dici? E' sbagliato il ragionamento?

[Vulplasir]

La dimensione dello spazio vettoriale generato da $n$ vettori è pari al numero di vettori linearmente indipendenti tra gli n vettori, quindi se gli n vettori non sono linearmente indipendenti allora dimL<n, e se dimL<n allora gli n vettori non sono linearmente indipendenti, quindi io direi la 1)

[cooper]

non posso che associarmi ad entrambi.

[jack1]

Grazie a tutti e due