fattorizzazione polinomi

[Elena96]

Salve a tutti! Per esercizio dovrei scomporre il seguente polinomio: $ x^5+x^4+2x^3-3x^2-3x-6 $
In R, C,Q,Z , $ Z_2 $ e $ Z_3 $

Parto da R e cerco di trovare una radice tra i divisori del 6, però non le trovo. Se ci fosse una radice razionale del tipo $ a/b $ a dovrebbe dividere 6 e b dovrebbe dividere 1, il coefficiente direttore ma allora avrei a/b =6 ma ciò 6 non è radice.
Se partissi a scomporre in $ z_2 $ o in $ z_3$ riuscirei a trovare una fattorizzazione valida anche in R?

[Guido_1996]

No: ad esempio il polinomio $X^2+1$ è irriducibile in $RR$, ma si fattorizza come $(X+1)^2$ in $ZZ_2[X]$. Per fattorizzarlo in $ZZ[X]$ basta fare un raccoglimento: $X^3(X^2+X+2)+(-3)(X^2+X+2)) = (X^3-3)(X^2+X+2)$. In $ZZ[X]$ i fattori sono irriducibili; in $RR[X]$ hanno radici e si possono scomporre ulteriormente...