Provare completezza spazio metrico

[Farid]

Salve, non riesco a provare che $ (C([0,1],R),dmax), dmax(f,g)=max|f(t)-g(t)|, t\in[0,1] $ sia uno spazio metrico completo.
Non so proprio come scrivere una successione di Cauchy generale per vedere la convergenza.
Potete aiutarmi?

[NoSignal]

Ci provo:
Osservazione:
Se $f_n$ è una successione di Cauchy in questo spazio, allora comunque scelgo $t' in [0,1]$ la successione in $RR, f_n(t')$, è di Cauchy.
Infatti ho che comunque prendo $\epsilon >0, EEn_\epsilon$ tale che $\forall n,m>n_\epsilon, max{|f_n(t)-f_m(t)|,t in [0,1]}<\epsilon$, e quindi $forall t in [0,1], |f_n(t)-f_m(t)|<\epsilon$, e quindi anche per un qualsiasi $t' in [0,1]$: cio equivale a dire che la successione $f_n(t')$(a valori in $RR$) è di Cauchy.

Sappiamo che $RR$ è completo, quindi $\forall t' in [0,1]$ la successione $f_n(t')$ è convergente, quindi definisco una nuova funzione $l(t)=\lim_{n \to \infty}f_n(t)$.

Devo innanzitutto verificare che tale funzione appartenga a $C([0,1],\RR)$, cioè che sia continua:
Osservo che per quanto detto sopra $\forall \epsilon >0, EEn_\epsilon$ tale che $\forall n,m>n_\epsilon, \forall t in [0,1], |f_n(t)-f_m(t)|<\epsilon$ e l'ultima disuguaglianza la riscriviamo cosi, $f_m(t) -\epsilon<f_n(t)<f_m(t)+\epsilon$.
Essendo tale disuguaglianza vera $\forall n,m>n_\epsilon$ allora passando al limite per $n \to \infty$ ottengo che $f_m(t) -\epsilon<l(t)<f_m(t)+\epsilon$, passando al limite per $t \to t'$ ho che, essendo $f_m$ una funzione continua, $f_m(t') -\epsilon<\lim_{t \to t'}l(t)<f_m(t')+\epsilon$, e passando al limite per $m \to \infty$ ho che $l(t') -\epsilon<\lim_{t \to t'}l(t)<l(t')+\epsilon$ e per l'arbitrarietà di $\epsilon$ ho che deve essere $\lim_{t \to t'}l(t)=l(t')$ e quindi $l$ è continua.

Adesso devo provare che la mia successione di funzioni $f_n$ converga proprio a $l$:
Per quanto detto sopra ho che $\forall \epsilon >0, EEn_\epsilon$ tale che $\forall n,m>n_\epsilon$, la disuguaglianza $f_m(t) -\epsilon<f_n(t)<f_m(t)+\epsilon$ è vera $\forall t in [0,1]$, e quindi passando al limite per $m \to \infty$ ottengo che:
$\forall t in [0,1]$ vale $l(t) -\epsilon<f_n(t)<l(t)+\epsilon$ e cioè $\forall t in [0,1], |f_n(t)-l(t)|<\epsilon$ di conseguenza si ha che
$max{|f_n(t)-l(t)|,t in [0,1]}<=\epsilon$ e quindi $\lim_{n \to \infty}f_n=l$

Ti invito ad analizzare bene questa risoluzione perchè puo darsi che abbia fatto errori.
Naturalmente prometto di rivederla e poi di discuterne sul topic appena posso.