Equazione differenziale del secondo ordine (another one)

[fabiett]

Come si determina l'equazione caratteristica della seguente: $xy''-(x+2)y'+2y=0$?
Non ho idea di come fare. Ho provato a sostituire con le lambda, come di consueto, ma mi pare di non finire da nessuna parte...

[seb]

È un'equazione differenziale a coefficienti costanti o variabili?
Un consiglio? Con tutti i metodi di risoluzione a tua disposizione non limitarti all'unico (che poi né ti aiuta né sai come muoverti quando non funziona)

[fabiett]

L'equazione è a coefficienti costanti. Il metodo di sostituzione è l'unico che abbiamo in mano per il momento: sono al termine del programma di Analisi 1.

Posso, gentilmente, chiederti la via per risolvere anche questa? $xy'' -(x+2)y'+2y=0$

[@melia]

$x$ e $x+2$ non sono costanti. La classificherei come equazione omogenea a coefficienti non costanti.

[seb]

Sì, la mia era una domanda retorica: come gentilmente constata @melia, l'equazione è a coefficienti variabili.
Se quello è l'unico metodo fornito (sicuro?), vediamo di ragionare un attimo. È evidente che \(y_1(x)=e^x\) è soluzione, fatto che forse si vede ancor meglio se l'equazione differenziale è riscritta a questa maniera: \(x(y''-y')+2(y-y')=0\). Data la linearità, se troviamo una seconda soluzione linearmente indipendente dalla prima abbiamo trovato tutte le soluzioni. Consideriamo il caso generale \(\alpha(x)y''(x)+\beta(x)y'(x)+\gamma(x)y(x)=0\) di cui supponiamo di conoscere una soluzione non nulla \(y_1(x)\). Cerchiamo la seconda soluzione nella forma \(y_2(x)=z(x)y_1(x)\) con \(z(x)\) incognita da determinare.
Per alleggerire di poco la scrittura, dividiamo il problema in due casi:

• \(\alpha(x)=0\implies \beta y'+\gamma y=0\);
• \(\alpha(x)\neq0\implies y''+ay'+by=0\), ove \(a(x)=\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\) e \(b(x)=\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}\).

Se \(y_2\) è soluzione (con \(\alpha\neq0\)), allora deve soddisfare a \(y_2''+ay_2'+by_2=0\), cioè:\[z''y_1+2z'y_1'+zy_1''+a(z'y_1+zy_1')+bzy_1=z''y_1+2z'y_1'+az'y_1+z(y_1''+ay_1'+by_1)=0\]che equivale a \(z''y_1+z'(2y_1'+ay_1)=0\) dal momento che \(y_1\) è soluzione.
Definita quindi \(t=z'\), si riduce l'ordine dell'equazione differenziale al primo: \(t'y_1+t(2y_1'+ay_1)=0\). Nel nostro caso porge:\[t'+\left(1-\frac{2}{x}\right)t=0\]che è a variabili separabili e fornisce banalmente \(z(x)=-[(x+1)^2+1]e^{-x}\), da cui e dalle considerazioni precedenti l'integrale generale dell'equazione di partenza è:\[y(x)=c_1y_1+c_2y_2=c_1e^x+c_2[(x+1)^2+1],\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}\]che già tiene conto del caso \(\alpha(x)=0\).