Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda dino! » 21/01/2017, 13:45

Data la matrice dipendente da parametro $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0) ) $ determina i valori del parametro t per cui è diagonalizzabile, quindi diagonalizzala.

Arrivo a determinare il polinomio caratteristico che è $ lambda ^3-lambda^2t+16lambda-4lambdat=0 $ .
Ora da qui in avanti entro in confusione: devo risolvere il polinomio in funzione di $ lambda $ giusto? Se così è, trovo un primo autovalore ponendo lambda in evidenza: $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $. Svolgendo però l'equazione di secondo grado ottengo $ t+- root()(t^2-4(4t-16))=t+- root()(t^2-16t+64) $ , e svolgendo il $ Delta $ in funzione di $ t $ non trovo soluzioni reali. Sicuramente sbaglio qualcosa... qualcuno più illuminarmi? Grazie :D
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda cooper » 21/01/2017, 14:26

non so se ho ben capito quello che stai chiedendo. da quello che ho capito ti sembra che $ t^2-16t+64=0 $ non abbia soluzioni reali. se così fosse ti faccio notare che $ t^2-16t+64=(t-8)^2 $
dino! ha scritto: $ t+- root()(t^2-4(4t-16))=t+- root()(t^2-16t+64) $

qui manca un fratto 2.
ti faccio anche notare che gli autovalori possono essere anche complessi.
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda dino! » 21/01/2017, 15:24

ok quindi secondo quanto giustamente mi hai fatto notare otterrei come unica soluzione $ t=4 $, dato che nell'altra la variabile si annulla. però non so cosa farci adesso con il valore di t trovato...
ricapitolando:

$ | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :}=(t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2-lambda^3=lambda^3-lambda^2t-16lambda+4lambdat=0 $
metto in evidenza $ lambda $ e ottengo $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $, da cui tra l'altro un autovalore è $ lambda1=0 $.
quindi devo (?) risolvere per $ lambda $, e avrò: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2 $ .
e ci ritroviamo al punto iniziale. fin qua non mi sembra ci sia nulla che non vada.

ora immagino di dover risolvere il $ Delta $ : $ Delta =t^2-16t+64= root()((t-8)^2)=t-8->t=8 $, per cui ritornando alla nostra equazione di secondo grado avrò: $ (t+- 8)/2 $. le due soluzioni sono $ (t+8)/2 $ e $ (t-8)/2 $.

ora queste soluzioni dovrei andarle a sostituire nella matrice al posto di $ t $...

credo ci sia qualche errore...
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda cooper » 21/01/2017, 16:54

il procedimento che hai seguito va bene, ma attento a due cose:
1. $sqrt((t-8)^2)=|t-8|$
2. quando vai a sostituire il valore che hai trovato non devi sostituirlo a $t$ ma a $lambda$
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda dino! » 21/01/2017, 20:01

scusa eh ma la sostituzione dei "valori trovati" (vale a dire gli autovalori $ lambda1, lambda2,...lambdan $) avviene al momento della determinazione della dimensione degli autospazi $ S(lambda) $ e degli autovettori associati ai rispettivi autovettori.
io finora ho trovato un solo autovalore (ovvero $ lambda1=0 $), mi mancano gli altri due (essendo il polinomio caratteristico di 3 grado in $ lambda $). se andassi a sostituire $ (t+8)/2 $ e $ (t-8)/2 $ a $ lambda $ non avrei più alcun $ lambda $ nella matrice...come trovare gli altri due autovalori allora? sarò duro di comprendonio ma temo di non aver capito come procedere :-D
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda cooper » 22/01/2017, 00:47

io pensavo che non sapessi cosa fartene di quei numeri, non avevo capito che non avevi capito che fossero autovalori. detto meglio: quei due numeri che hai trovato sono i tuoi due altri autovalori.
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda anto_zoolander » 22/01/2017, 07:16

Si vede subito che quella è una matrice triangolare....

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Scambiando nell'ordine:
•colonna 2 con colonna 1
•riga 2 con riga 1

Ottieni una matrice triangolare il cui determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale e dunque il polinomio caratteristico lo ottieni pulito pulito scomposto in fattori $P(lambda)=(-lambda)(4-lambda)(t-4-lambda)$

Poiché se una matrice di ordine $n$ ha $n$ autovalori distinti è diagonalizzabile, possiamo dire subito che per $tne4$ e $tne8$ la matrice è diagonalizzabile poiché ha tre autovalori regolari(ovvero il $a_lambda=g_lambda$)

Non rimane di vedere che succede se $t=4,8$ poiché ottieni un autovalore con $a_(4,8)=2$

Per esempio per $t=4$ ottieni $P(lambda)=(lambda)^2(4-lambda)$
Dobbiamo controllare $g_0$ ovvero la molteplicità geometrica di $lambda=0$

Si controlla subito $r(A)=r(((0,0,4),(4,4,0),(0,0,0)))=2$
E dunque $dimKer(A)=dimV_0=3-2=1$

Così otteniamo $g_0nea_0$ e quindi non è diagonalizzabile.


Non dovrei aver errato i conti, in caso contrario modificherò :-D
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda dino! » 22/01/2017, 12:04

Mi ci sono rimesso a mente fresca e credo di essere arrivato alla fine anche se non riesco a trarne le dovute conclusioni. Prima di tutto però vi ringrazio per la pazienza :-D
Allora, la mia matrice è $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .

1) calcolo gli autovalori: $ lambda $ autovalore di $ A $ se e solo se $ (A-lambdaI3)=0 $, da cui $ [ ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) ]=0 $
$ det | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :} = (t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2 -lambda^3=-lambda^3+lambda^2t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^t+4lambdat-16lambdat=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $
Il primo autovalore è dunque $ lambda1=0 $. Gli altri due autovalori sono: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 | )/2 $, da cui ottengo $ lambda1=(t+t-8)/2=(2t-8)/2=t-4 $ e $ lambda2=(t-t+8)/2=(8)/2=4 $
In sintesi:
$ lambda1=0 , lambda2=t-4 , lambda3=4$, tutti con molteplicità algebrica pari ad $ 1 $.

2) sostituisco gli autovalori a $ lambda $ :
per $ lambda1=0 $ si ha $ | ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)(4)=4t-16=0->t=4 $
per $ lambda2=t-4 $ si ha $ | ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | =| ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | ->det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) |=-4(-t+8)=4t-32=0->4t=32->t=8 $
per $ lambda3=4 $ si ha $ | ( t-8 , 0 , 4 ),( t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -4 ) | ->det| ( t-8 , 4 ),( t , 0 ) | =-4t=0->t=0 $

3) vedo cosa succede se sostituisco i valori di t alla matrice $ lambdaI3 $:
ad es. se $ t=4 $ si ha $ | ( -lambda , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | =(-lambda)^2(4-lambda)=4lambda^2-lambda^3=lambda^3-4lambda^2=lambda^2(lambda-4) $ da cui $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $.

Ora, senza andare avanti con i calcoli (che mi sembrano già troppi :-D ), poiché per $ t=4 $ si hanno due ulteriori valori di $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $ , $ m(0) = m(4) $ diventa $ =2 $ ? Vale a dire che la molteplicità algebrica di questi due lambda va ad aggiungersi alla molteplicità algebrica degli autovalori iniziali? Se fosse così ovviamente, essendo per $ t=4$ (e dunque per $ lambda1=0 $) la matrice $ | ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | $ dotata di $ r=2 $, avremo avuto che $ dim(S(0))!= m(0) $ per cui la matrice non è diagonalizzabile.
E' corretto quanto concluso? Vale sempre la "regola" secondo cui, se una volta sostituiti i valori di t alla matrice $lambdaI $ si ottengono valori di $ lambda $ uguali agli autovalori, ciò fa aumentare la loro molteplicità algebrica rendendo la matrice non diagonalizzabile? Ciò, come ha detto giustamente anto_zoolander (che ringrazio), renderebbe la matrice non diagonalizzabile per $t=4, t=8, t=0 $.

Detto tutto questo, il testo mi chiede di determinare i valori di $ t $ per cui invece è diagonalizzabile (ergo $ AA t!= 4,8,0 $) e diagonalizzarla. Come posso procedere?
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda cooper » 22/01/2017, 13:06

il punto 2 non ho capito perchè l'hai fatto. una volta trovati gli autovalori, che dipendono da un parametro in questo caso, non è necessario che ricalcoli il polinomio caratteristico. devi fare come ha fatto anto_zoolander e valutare le due molteplicità andando a studiare gli autospazi esattamente come ha fatto.
per scrivere infine la matrice diagonale basta che costruisci una matrice che ha sulla diagonale i tuoi autovalori e dalle altre parti 0. la matrice diagonalizzante è invece costruita affiancando gli autovettori, mantenendo l'ordine che hai usato per la matrice diagonale.
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Re: Diagonalizzazione con parametro

Messaggioda dino! » 22/01/2017, 15:41

autovalori:
$ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )->( ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) )->(t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^t-lambda^3=-lambda^3+lambda^t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^2t+4lambdat-16lambda=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $

$ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 |)/2 $

i tre autovalori sono $ lambda1=0 $ con $ m(0)=1 $, $ lambda2=(t+t-8)/2=t-4 $ con $ m(t-4)=1 $ e $ lambda3=(t-t+8)/2=4 $ con $ m(4)=1 $.

autovettori:
1) $ bar(u) $ autovettore di $ lambda1=0 $ se e solo se $ bar(u)!=bar(0) $ e $ A0bar(u)=bar(0) $:
$ [ ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)4=4t-16=0 $
se $ t=4->r=1->S(0)=dim(S(0))=dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2!=m(0) $ non esiste matrice diagonalizzabile
se $ t!=4->r=2->S(0)=dim(S(0))=dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-2=1=m(0) $ esiste matrice diagonalizzabile
$ { ( 4x3=-(t-4)x1 ),( 4x2=-tx1 ):}{ ( 4x3=-(t-4)((-4x2)/t) ),( x1=(-4x2)/t ):}{ ( x2=(tx3)/(t-4) ),( x1=(-4x3)/(t-4) ):} $
pongo $ x3=h in R -> bar(u)=[ ( (-4h)/(t-4) ),( (-ht)/(t-4) ),( h ) ] ->h[ ( (-4)/(t-4) ),( (-t)/(t-4) ),( 1 ) ] $


2) $ bar(v) $ autovettore di $ lambda2=t-4 $ se e solo se $ bar(v)!=bar(0) $ e $ At-4bar(v)=bar(0) $:
$ [ ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] ->[ ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] -> det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) | =-4(-t+8)=4t-32=0 $
se $ t=8->r=1->S(t-4)=dim(S(t-4))=dim(Ker[At-4])=3-dim(Im[At-4])=3-1=2!=m(t-4) $ non esiste matrice diagonalizzabile
se $ t!=8->r=2->S(t-4)=dim(S(t-4))=dim(Ker[At-4])=3-dim(Im[At-4])=3-2=1=m(t-4) $ esiste matrice diagonalizzabile
$ { ( 4x3=0 ),( (-t+8)x2=-tx1 ):}{ ( x3=0 ),( -tx2+8x2=-tx1 ):}{ ( x3=0 ),( tx1=tx2-8x2 ):}{ ( x3=0 ),( x1=x2-(8x2)/t ):} $
pongo $ x2=k in R -> bar(v)=[ ( k-(8k)/t ),( k ),( 1 ) ] ->k[ ( 1-(8)/t ),( 1 ),( 0 ) ] $

...stessa cosa per $ bar(t) $ autovettore di $ lambda3=4 $.

poi costruisco la matrice diagonale ponendo gli autovalori sulla diagonale principale e tutti i restanti valori 0, la diagonalizzante come matrice degli autovettori relativi ai rispettivi autovettori e per verificarne la correttezza deve valere la condizione $ P^-1AP=D $ con $ P^-1 = (1)/det* $ la matrice trasposta della matrice dei cofattori.

ditemi che è corretto vi prego :-D
dino!
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