Mi ci sono rimesso a mente fresca e credo di essere arrivato alla fine anche se non riesco a trarne le dovute conclusioni. Prima di tutto però vi ringrazio per la pazienza
Allora, la mia matrice è $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
1) calcolo gli autovalori: $ lambda $ autovalore di $ A $ se e solo se $ (A-lambdaI3)=0 $, da cui $ [ ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) ]=0 $
$ det | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :} = (t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2 -lambda^3=-lambda^3+lambda^2t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^t+4lambdat-16lambdat=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $
Il primo autovalore è dunque $ lambda1=0 $. Gli altri due autovalori sono: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 | )/2 $, da cui ottengo $ lambda1=(t+t-8)/2=(2t-8)/2=t-4 $ e $ lambda2=(t-t+8)/2=(8)/2=4 $
In sintesi:
$ lambda1=0 , lambda2=t-4 , lambda3=4$, tutti con molteplicità algebrica pari ad $ 1 $.
2) sostituisco gli autovalori a $ lambda $ :
per $ lambda1=0 $ si ha $ | ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)(4)=4t-16=0->t=4 $
per $ lambda2=t-4 $ si ha $ | ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | =| ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | ->det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) |=-4(-t+8)=4t-32=0->4t=32->t=8 $
per $ lambda3=4 $ si ha $ | ( t-8 , 0 , 4 ),( t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -4 ) | ->det| ( t-8 , 4 ),( t , 0 ) | =-4t=0->t=0 $
3) vedo cosa succede se sostituisco i valori di t alla matrice $ lambdaI3 $:
ad es. se $ t=4 $ si ha $ | ( -lambda , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | =(-lambda)^2(4-lambda)=4lambda^2-lambda^3=lambda^3-4lambda^2=lambda^2(lambda-4) $ da cui $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $.
Ora, senza andare avanti con i calcoli (che mi sembrano già troppi
), poiché per $ t=4 $ si hanno due ulteriori valori di $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $ , $ m(0) = m(4) $ diventa $ =2 $ ? Vale a dire che la molteplicità algebrica di questi due lambda va ad aggiungersi alla molteplicità algebrica degli autovalori iniziali? Se fosse così ovviamente, essendo per $ t=4$ (e dunque per $ lambda1=0 $) la matrice $ | ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | $ dotata di $ r=2 $, avremo avuto che $ dim(S(0))!= m(0) $ per cui la matrice non è diagonalizzabile.
E' corretto quanto concluso? Vale sempre la "regola" secondo cui, se una volta sostituiti i valori di t alla matrice $lambdaI $ si ottengono valori di $ lambda $ uguali agli autovalori, ciò fa aumentare la loro molteplicità algebrica rendendo la matrice non diagonalizzabile? Ciò, come ha detto giustamente anto_zoolander (che ringrazio), renderebbe la matrice non diagonalizzabile per $t=4, t=8, t=0 $.
Detto tutto questo, il testo mi chiede di determinare i valori di $ t $ per cui invece è diagonalizzabile (ergo $ AA t!= 4,8,0 $) e diagonalizzarla. Come posso procedere?