Integrali impropri con Taylor

[RuCoLa]

Buongiorno,
ho visto che nello studio della convergenza di alcuni integrali impropri del tipo $\int_a^(+oo) f(x)dx$ certe volte si sviluppa la funzione con Taylor( ad esempio se il problema si pone a $+\oo$ e la funzione in esame è $1/x ln(1 + 1/x)$ allora considero lo sviluppo polinomiale di $ln(1 + 1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + o(1/x^2)$ e studio la convergenza dell'integrale $\int_a^(+oo) g(x)dx$ dove $g(x) = 1/x(1/x - 1/(2x^2) + o(1/x^2))$ se converge/diverge lo sviluppo polinomiale allora converge/diverge anche la funzione di partenza. Per passare allo studio del polinomio viene applicato il criterio di confronto asintotico?Perchè effettivamente $lim_{x->+oo} f(x)/g(x) = 1$

Grazie

[cooper]

se converge/diverge lo sviluppo polinomiale allora converge/diverge anche la funzione di partenza

no, devi valutare l'esponente della x. in un intorno di infinito l'integrale converge se $alpha > 1$.
usi si il criterio del confronto asintotico che c'è per gli integrali impropri. infatti puoi notare che lo sviluppo polinomiale che hai scritto è asintotico a $1/x^2$. già dall'inizio potevi fare a meno di sviluppare con Taylor ed usare direttamente l'asintoticità, comunque non era lo stesso necessario sviluppare fino al secondo ordine, bastava il primo.

[RuCoLa]

Sì ma la mia domanda riguardava il procedimento generale, non questo particolare integrale che era solo un esempio. Ciò che mi chiedo è se in generale è lecito passare allo studio del polinomio di Taylor al posto della funzione di partenza per il criterio del confronto asintotico o se per qualche altro motivo.

[cooper]

devi riuscire a ricondurti al comportamento di un integrale di cui conosci la convergenza. per farlo passare attraverso Taylor (o con gli asintotici) è un'ottima strada. ricorda comunque che non c'entra la divergenza o convergenza della funzioni con cui fai il confronto.

[RuCoLa]

Come non c'entra?

[cooper]

in un intorno di infinito poni il caso che l'integranda sia asintotica a $1/sqrtx$. questa converge a $0$, ma l'integrale diverge.