Dimostrazione proprietà potenze

[sleax]

Ciao a tutti.
Ho letto alcune proprietà sulle potenze su Wikipedia e mi stavo chiedendo come dimostrarle. Mi date una mano?

1) Per $n\ge2$ pari, $A$ intero si ha: $A^2=A^{2p}=sum_{m=1}^{A^(n/2)}(2m-1)$
2) Per $n\ge2$ dispari, $A$ intero si ha: $A^n=A^{2p-1}=sum_{m=1}^{A^((n-1)/2)}(2mA-A)$

[andar9896]

Ciao, cominciamo col dire che la somma di $N$ numeri dispari è $N^2$
Dimostrazione: consideriamo la somma $S_n$ di tutti gli $N$ numeri dispari:
$S_n = 1+3+5+...+2n-3+2n-1$ dove $2n-1$ è certamente dispari. Riscriviamo la somma al contrario e sommiamo membro a membro:
${ ( S_n=1+3+5+...+2n-3+2n-1 ),( S_n=2n-1+2n-3+...+5+3+1 ):}$
$2S_n= n * 2n rarr S_n=n^2$
Ora, da ciò evinciamo che la somma dei primi $A$ numeri dispari sarà:
$ sum_(m = 1) ^ (A) 2m-1 = A^2 $

Per la 1. avremo che, con $n$ pari:
$ A^n=A^(2p)=(A^p)^2= sum_(m=1)^(A^p) 2m-1 = sum_(m=1)^(A^(n/2)) 2m-1 $ dove $p=n/2$

Per la 2. forse sbaglierò, ma mi sembra più corretta con il segno $+$ :
$ A^n=A^(2p+1)=A(A^(2p))=A(A^p)^2=A sum_(m=1)^(A^p) 2m-1 = sum_(m=1)^(A^((n-1)/2))A( 2m-1) = sum_(m=1)^(A^((n-1)/2)) 2mA-A $

[sleax]

Grazie mille!