Equazione complessa molto difficile, non so da che parte girarmi.

[Nick0]

C'è una equazione complessa che non riesco a risolvere, anzi non so neppure da che parte incominciare.

$((z − i)^5 - 1 + i) (z^2 − i(¯z)^3)=0
$

Spero almeno voi riusciate a cavare un ragno dal buco.
P.S.: la sbarretta sopra l'ultimo z, significa che è il coniugato, ergo, la forma di un numero complesso z è (x+iy), nel caso del coniugato z=x-iy.

[Nick0]

Salve, ho ancora bisogni di voi per questa equazione.

Dunque, io sono arrivato a risolvere le 5 radici del primo termine. Ho trovato 5 valori di z.

$Z0=0,4823 + 1,9549 i$
$Z1=-0,75786+1,757856 i$
$Z2=-0,9549+0,51342 i$
$Z3=0,16766-0,05857 i$
$Z4=1,0586+0,8323 i $

Per quanto riguarda il secondo termine mi ritrovo così

$
x^2-y^2+2ixy-ix^3+y^3+3x^2y+3ixy^2 $

Ha questo punto tento di mettere a sistema separando parte reale e parte immaginaria


{$x^2-y^2+y^3+3x^2y=0;
$
{$2xy-x^3+3xy^2=0;
$

Il mio problema è che nel sistema ci sono termini di 3° grado che non so come trattare, inoltre non ho capito come posso "collegare" i risultati avuti dall'annullamento del primo termine (le 5 z che vi ho presentato) con quello mi uscirà dalla risoluzione del sistema.

P.S.: gli angoli presentatisi nella ricerca delle 5 radici, non erano noti e neanche ricavabili attraverso duplicazione, bisezione ecc... (ad esempio un angolo mi ricordo fosse $23/20 pi$); per trovarle ho dovuto usare la calcolatrice, dato che in sede d'esame non è permesso usare calcolatrici come è possibile risolvere questa equazione complessa usando solo "carta&penna"? C'è qualcosa che mi sono perso?

Un forte e caloroso ringraziamento in anticipo!

[gugo82]

Per l'equazione \(z^2 - \imath \overline{z}^3=0\) consiglio vivamente di passare in forma esponenziale o ragionare in forma trigonometrica... Mettersi a fare i conti in forma algebrica è una gran rottura.

[Nick0]

Ho trovato ben 6 soluzioni per la seconda equazione

$z=0;$
$z=i;$
$z=-1/2(1/2(5+(5)^(1/2)))^(1/2) + 1/4i((5)^(1/2)-1);$
$z=-1/2(1/2(5-(5)^(1/2)))^(1/2)+1/4i(-1-(5)^(1/2));$
$z=1/2(1/2(5-(5)^(1/2)))^(1/2)+1/4i(-1-(5)^(1/2));$
$z=1/4(2*(5+(5)^(1/2)))^(1/2)+i((5)^(1/2)-1));$

E' possibile 6 soluzioni anche se il grado massimo è 3? Queste soluzioni sono corrette?

Ma soprattutto... il motivo per cui ho riaperto il post, nonché il cuore del mio dubbio è :"adesso che ho tutte queste soluzioni; 5 + 6 = 11 valori di z possibili; cosa concludo? Cosa dico? Come collego queste 6 soluzioni alle 5 trovate precedentemente? Quali sono le z possibili? Tutte e 11? Solo quelle che appartengono sia al primo termine che al secondo? Nessuna?
Insomma cosa concludo?

Un fortissimo e caloroso ringraziamento anticipato al pazientissimo che vorrà rispondermi e illuminarmi!

[gugo82]

Scusa, ma è una cosa banale...

Rifatti al caso di equazioni in una incognita reale: ad esempio, le soluzioni di \(x(x^2-1)=0\) quali sono e come si ottengono?


P.s.: La tua non è un'equazione algebrica, dunque può avere quante soluzioni vuole.

[Nick0]

Uhhm... Le soluzioni sono

x=0;
x=+1;
x=-1;

Ah quindi stai dicendo che le soluzioni sono 5 + 6= tutte e 11.

E i valori che ho trovato sono tutte soluzioni? Quindi le z possibili sono tutte quelle 11?

Giusto?