[RISOLTO]Punti critici funzione in 3 variabili

[alessandro8]

Ciao.

Premetto che sono molti anni che non vedo questi argomenti in modo così dettagliato, quindi potrei anche sbagliare qualcosa (nel qual caso mi scuso anticipatamente), però secondo questa fonte (sezione 1.2, punto ii - criterio di Sylvester), la matrice $H$ dell'esempio in questione, calcolata nel punto $P_2$, risulterebbe essere definita negativa, quindi si dovrebbe aver a che fare proprio con un punto di massimo.

Saluti.

[Mito125]

Io sempre utilizzando il criterio di Sylvester ho capito che è definita negativa solo quando tutti i minori principali sono negativi, mentre a me in $P_2$ il determinante risulta positivo, quindi è indefinita per il cambio di segno... Ma forse mi sto sbagliando...

[alessandro8]

Ciao.

Anche in questo collegamento Wiki si confermerebbe quanto riportavo nel mio post precedente.

Saluti.

[Mito125]

Tu intendi questo passaggio?

la matrice A è definita negativa se e solo se $(-1)^i d_i > 0$ per ogni i . Quindi per $A_2$ sarebbe negativa perchè c'è quel $-1^i$??? Però non sono sicuro cosa i fosse.... Cioè come si contano i minori principali??? Dall'alto al basso o dal basso verso l'alto?

[alessandro8]

Tu intendi questo passaggio?
la matrice A è definita negativa se e solo se $(-1)^i d_i > 0$ per ogni i.

Sì, alludevo proprio a ciò.

...come si contano i minori principali??? Dall'alto al basso o dal basso verso l'alto?

Dall'alto verso il basso; qualcuno denomina tali minori come "minori di nord-ovest" (per una ragione evidente) della matrice data.

Saluti.

[Mito125]

Ok, allora domani mattina controllo gli esercizi, ti farò sapere... Grazie intanto per avermi dato qualcosa su cui macinare

[alessandro8]

Di nulla... mi spiace solo di essere arrugginito.

Saluti.

[Mito125]

Io ancora continuo a non capire questi esercizi... Riprendo la seguente matrice:
$H=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$

Calcolando il determinante con la regola di Sarrus ottengo $24z-2$

Allora calcolo l'hessiana nei punti critici. Primo punto $P_1=(0,0,0)$... Il determinante è pari a $-2$... Il minore $A_1=-2$ ed il minore $A_2=4$... Il punto è di sella... Ripeto per il punto $P_2=(0,-\frac(1)(12),\frac(1)(6))$:

Il determinante dell'hessiana è pari a $2$,$A_1=-2$ ed $A_2=4$... Punto di sella, ma non è così, dalla soluzione questo secondo punto dovrebbe essere di minimo locale, dovrei avere una matrice definitiva negativa, invece trovo sempre delle indefinite... Magari sto sbagliando qualcosa...

[alessandro8]

... Magari sto sbagliando qualcosa...

Sì, c'è un piccolo errore, dovuto ad una semplice svista.

Il determinante dell'hessiana è pari a $2$,$A_1=-2$...

Il minore $A_1$ ha determinante pari a $2$, non a $-2$, per cui la matrice $H(P_2)$ risulta essere definita positiva, per cui si ha a che fare con un punto di minimo.

Saluti.

[Mito125]

Non dovevo moltiplicare i minori per $(-1)^i$??? Quindi è 2, moltiplicato per -1 ottengo -1... I minori li ho tutti moltiplicati per -1, tranne il determinante dell'hessiana che non credo sia minore...