Probema 3 SNS 2015

[tommy1996q]

Posto qui il testo e nello spoiler la mia soluzione che (spero) sia giusta. Ogni correzione, consiglio o metodo risolutivo diverso è ben accetto.

Si dimostri che per $n>=1$ e $k>=2$ è sempre possibile scrivere $n^k$ come somma di esattamente n numeri dispari.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Poniamo $n^k=m+(m+2)+(m+4)+....+(m+2(n-1))$ dove $m$ è un generico numero dispari che soddisfa le condizioni del problema.

Tale somma è una serie parziale dove il primo elemento è $m$ e l'ultimo è $(m+2(n-1))$. Allora possiamo scrivere:

$n^k= [\Sigma]m(i)+2(i-1)$ con $1<=i<=n$

Allora svolgendo la moltiplicazione e scrivendo la sommatoria come somma di diverse sommatorie otteniamo:

$n^k= [\Sigma]m(i) +2[\Sigma]i -2[\Sigma]1$

allora: m è costante e la sommatoria consiste nella somma di n volte m; la seconda sommatoria consiste nella somma dei primi n naturali e infine la terza non è altro che una somma di n volte 1, abbiamo che:

$n^k=nm+n(n+1)-2n$

da cui:

$n^k=nm+n^2-n$ e infine dividendo per n e isolando m:

$m=n^(k-1)-n+1$

da notare, quale conferma della correttezza della soluzione, che m è dispari qualunque sia il valore di n.

[E-313]

Probabilmente sto dicendo una sciocchezza, ma non basta osservare che se $ n $ è pari anche $ n^k$ è pari, quindi sommando un numero pari di numeri dispari ottieni un numero pari; e se $ n $ è dispari anche $n^k$ è dispari, quindi sommando un numero dispari di numeri dispari, ottieni un numero dispari; e poi il problema non sembra chiedere che i numeri siano in ordine conseguenziale; (Sicuramente non ho capito in pieno il tuo ragionamento, però mi sembra che tu hai preso i numeri dispari in ordine conseguenziale); ad esempio prendi $ 3^3=27=7+9+11=5+9+13$.

[Vulplasir]

Probabilmente sto dicendo una sciocchezza, ma non basta osservare che se $n$ è pari anche $n^k$ è pari, quindi sommando un numero pari di numeri dispari ottieni un numero pari; e se $n$ è dispari anche $n^k$ è dispari, quindi sommando un numero dispari di numeri dispari, ottieni un numero dispari

Beh si effettivamente ci hai azzeccato, è una grossa sciocchezza

Il problema chiede di dimostrare che $n^k$ si può esprimere come una somma di ESATTAMENTE $n$ numeri dispari, non di dimostrare che $n^k$ si può esprimere come somma di numeri dispari, questo è ovvio, ed è proprio quello che hai detto tu.

Che uno lo dimostri per numeri consequenziali o meno non ha importanza, basta che verifichi quello che chiede il problema, la soluzione di @tommy1996q è corretta, ossia ha dimostrato che $n$ numeri dispari successivi del tipo $m=n^(k-1)-n+1$ verificano la tesi.

[E-313]

Beh si effettivamente ci hai azzeccato, è una grossa sciocchezza

Almeno qualcosa ci ho azzeccato

[tommy1996q]

E-313 tranquillo che tutti diciamo sciocchezze, dovevi vedermi oggi alla prova di fisica... Comunque posterò tutti quelli che ho fatto con relativa dimostrazione che (sperando in bene) dovrebbe essere giusta

[xXStephXx]

Dovrebbe bastar trovare $x$ e $y$ naturali tali che $n^k=x^2-y^2$ con $x-y=n$ no?

[tommy1996q]

Perché? Poi troveresti $n^k$ come differenza di quadrati, come ti ricolleghi a una serie parziale di numeri dispari?

[tommy1996q]

ah è vero mi è venuto in mente ora, si hai ragione

[tommy1996q]

tu dici che la somma dei primi n dispari è uguale a $n^2$, e mettendolo in quella maniera trovi x e y con le limitazioni imposte dal problema, si effettivamente è un metodo più veloce, anche se non dà una formula chiusa va comunque bene

[xXStephXx]

quale formula chiusa? I numeri in questione saranno quelli che vanno da $2y+1$ a $2x-1$. E il sistema si risolve facilmente considerando che $x+y=n^{k-1}$ e $x-y=n$.