Ciao.
Premetto che sono molti anni che non vedo questi argomenti in modo così dettagliato, quindi potrei anche sbagliare qualcosa (nel qual caso mi scuso anticipatamente), però secondo questa fonte (sezione 1.2, punto ii - criterio di Sylvester), la matrice $H$ dell'esempio in questione, calcolata nel punto $P_2$, risulterebbe essere definita negativa, quindi si dovrebbe aver a che fare proprio con un punto di massimo.
Saluti.