Carattere di una serie - esponenziale contro logaritmo -

[Meringolo]

Studiare al variare del parametro $alpha$ il carattere della serie

$\sum_{k=1}^infty alpha^(n+3)/(7^n*arctan(n)*log(n^3+1))$

Intanto l'arcotangente è limitato, e tende a $pi/2$ per $n->infty$ quindi la serie è circa

$~~\sum_{k=1}^infty alpha^(n+3)/(7^n*pi/2*log(n^3+1))$

$~~2/3pi\sum_{k=1}^infty alpha^(n)/(7^n*log(n))$

$~~\sum_{k=1}^infty (alpha/7)^n/(log(n)$

Sopra ho una geometrica di ragione $alpha/7$ e diverge non appena $alpha>=7$

Essendo che esponenziale batte logaritmo per $n->infty$ la serie converge per $abs(alpha)<1$

é corretto? Vorrei trovare un modo più rigoroso di provare la convergenza, ma il criterio del rapporto e della radice non mi sono d'aiuto

[dan95]

Sei sicuro che la serie converge per $|\alpha|<1$?

[Meringolo]

sì, scusa, volevo scrivere $<7$