Funzione semplice al variare di un parametro

[Peppermint]

L'esercizio dice:

Sia fk un endomorfismo di $R^3$ tale che $fk(x, y, z) = (3x, ky − z, −y + 2z)$ con $k ∈ R$
dopo aver calcolato immagine e ker al variare di k chiede di stabilire per quali valori di $k ∈ R$ la funzione $fk$ sia semplice

Costruisco la mia matrice

$((3,0,0),(0,k,-1),(0,-1,2))$

e ne calcolo il polinomio caratteristico: $k x^2-5 k x+6 k-x^3+5 x^2-5 x-3=0$
Dopo però mi blocco, come faccio, dall'equazione del mio polinomio a trovare i valori di k per cui la funzione sia semplice?

[stenford]

Allora il polinomio caratteristico è in forma raccolta:
$chi_(fk)=(x-3)*[x^2-x(k+2)+(2k-1)]$
Se $ Delta =0$ hai una soluzione doppia ma $Delta=(k-2)^2+4!=0$
Risolvendo il quadrato:
$x_(1,2)=(k+2+-sqrt((k-2)^2+4))/2$
se $x_(1,2)=3$ hai un'autovalore di molteplicità 2 e ciò avviene per $k=2$
se $k!=2$ sono autovalori di molteplicità algebrica semplice quindi $fk$ è diagonalizzabile

Se $k=2$ andando a vedere la molteplicità geometrica ti accorgi facilmente che è 1 quindi non è diagonalizzabile