Problema 5 SNS 2015

[Pachisi]

$A$ e $B$ sono fuochi di un'ellisse, e $V$ si muove sull'ellisse. Se $VH$ è l'altezza relativa a $AB$, $VH$ è massima quando è pari al semi asse minore dell'ellisse. Ossia, quando $AVB$ è isoscele. (se fai il disegno lo vedi subito)

[dan95]

Ah è vero!

[tommy1996q]

In effetti fin lì è facile da dimostrare, ma....dopo?

[coleridge]

In effetti fin lì è facile da dimostrare, ma....dopo?

Dopo puoi cercare, tra tutti i punti $O$ che vedono $AB$ sotto lo stesso angolo $\theta$, quello più lontano da $AB$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$O$ può muoversi su un arco di circonferenza

[dan95]

Ma io credo che $\Delta_{AOB}=\frac{OA \cdot OB \sin(\theta)}{2}$
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento

[coleridge]

Ma io credo che $\delta_{AOB}=\frac{OA \cdot OB \sin(\theta)}{2}$
Potrei sbagliarmi visto che con questo tipo di problemi sto fuori allenamento

Per essere giusto, è giusto. Perché l'avversativa?
O meglio, come vuoi usare questa formula, cosa fissi e cosa fai variare?

[dan95]

Quello che rimane costante è $OA$ e $OB$, l'area massima si ottiene per $\theta=90°$

[coleridge]

Ma $\theta$ è fissato.
E se non vuoi interferire con l'area di $ABV$ devi fissare anche $AB$.

[tommy1996q]

Quello che rimane costante è $OA$ e $OB$, l'area massima si ottiene per $\theta=90°$

eh no, le uniche limitazioni sono $AV+BV=L$ e l'angolo deve essere fisso. A e B si possono muovere a tali condizioni

[sprmnt21]

Vedete un po' se fila il seguente ragionamento:

Data una qualsiasi configurazione in cui $AV+BV=l$, vediamo come possiamo maggiorare l’area di $AOBV$.
Se $AO\ne BO$ possiamo ruotare il triangolo $ABV$ (tenendo sempre $A$ e $B$ su $r$ ed $s$) in modo da aver $AOB$ isoscele e quindi di superficie $>=$ a quella di qualsiais triangolo di base $AB$ e angolo opposto $\theta$.
Per quanto riguarda $ABV$, a parità di base $AB$, il massimo si ha per $AV=BV$. Pertanto qualsiasi configurazione può essere maggiorata da una simmetrica rispetto alla bisettrice di $theta$.
Tra tutte quelle che godono di questa simmetria, la massima è quella per cui anche $AVO$ (ed anche il suo simmetrico ovviamente) è isoscele, massimo tra tutti quelli aventi uguale base $l/2$ e stesso abgolo al vertice $\theta/2$ .
Facendo un po' di conti, viene $S_{max}=frac{l^2} {8 \tan(\theta/4)}$.