Teorema di esistenza dei valori intermedi

[Bulls]

$ f(x) $ continua
$ \forally_1,y_2\inImf=f(I) $
$ y_1<y_2 $

[gugo82]

Sia \( f:I\rightarrow \mathbb{R} \) una funzione continua, dove \( I \) è un intervallo, allora \( \forall y_1,y_2 \in \operatorname{Im} f=f(I) \) con \( y_1<y_2 \) risulta \([y_1,y_2]\subseteq \operatorname{Im} f\).

Cerchiamo di applicare a quest'enunciato le regole di buon senso suggerite qui.

[...] un teorema è una proposizione "composta" che, nella forma più semplice, lega una o più proposizioni "semplici" (assunzioni e ipotesi) ad una o più proposizioni "semplici" (tesi) mediante un'implicazione logica, la quale implicazione deve essere dimostrabile secondo le regole logiche comunemente accettate.

Ciò implica che l'enunciato di un teorema (cioè la frase che trovi scritta sul libro dopo la parola Teorema), nella sua forma più semplice, è usualmente strutturato come segue:

Siano \(X\), \(Y\), ... , oggetti fatti così e così. [assunzioni sugli oggetti coinvolti nell'enunciato]
Se accade una certa cosa (coninvolgente uno o più degli oggetti \(X\), \(Y\), ...) [ipotesi del teorema], allora accade anche quest'altra cosa (coninvolgente uno o più degli oggetti \(X\), \(Y\), ...) [tesi del teorema].

Il costrutto "se... allora ..." rende in linguaggio naturale l'implicazione logica tra le ipotesi e la tesi ed aiuta a riconoscere queste ultime. Infatti, il ipotesi le riconosci subito, perchè vengono dopo il primo "se"; analogamente, la tesi la riconosci subito, perchè viene dopo il primo "allora".
Inoltre, le assunzioni (che vengono all'inizio dell'enunciato servono a delimitare il campo di applicazione del teorema) potrebbero essere inglobate dopo il primo "se" senza alterare il senso della frase; quindi, esse non sono altro che ipotesi enunciate a parte, in via preliminare, per rendere più comprensibile l'enunciato.

Seguendo l'idea dell'ultima frase appena citata, notiamo che l'enunciato del teorema può essere riscritto come segue:

Se \( f:I\rightarrow\mathbb{R} \) è una funzione continua ed \( I \) è un intervallo, allora \( \forall y_1,y_2 \in \operatorname{Im} f = f(I) \) con \( y_1<y_2 \) risulta \([y_1,y_2]\subseteq \operatorname{Im} f\).

facendo divenire le assunzioni (presenti all'inizio dell'enunciato) delle ipotesi.

A questo punto, applichiamo la regola suggerita poco più sopra: le ipotesi sono quelle vicine al primo "se" e la tesi quella che segue il nesso "allora".
Conseguentemente troviamo:

• ipotesi:
  
  1. \(I\) è un intervallo;
     
  2. \(f:I\to \mathbb{R}\) è continua in \(I\);
• tesi:
  
  1. per ogni \(y_1,y_2\in \operatorname{Im} f = f(I)\) con \(y_1<y_2\) risulta \([y_1,y_2] \subseteq \operatorname{Im} f\).

Ti convince?



P.S.: La condizione "\(y_1<y_2\)" fa parte della tesi.
Essa potrebbe essere anche del tutto omessa dall'enunciato: per fare ciò occorre riscrivere la tesi in modo da non dare alcuna importanza alla posizione reciproca di \(y_1\) ed \(y_2\). Questo può essere fatto scrivendo la tesi come segue:

per ogni \(y_1,y_2\in \operatorname{Im} f = f(I)\) risulta \(\big[ \min \{y_1,y_2\} , \max \{y_1,y_2\}\big] \subseteq \operatorname{Im} f\).

Da ciò segue che "\(y_1<y_2\)" non è una vera condizione da soddisfare per mantenere la validità del teorema, ma solo una "ipotesi di comodo" usata per semplificare ulteriormente l'enunciato.

[Bulls]

ok quindi se finalmente ho capito, una funzione che potrebbe fare al caso mio potrebbe essere:

$ f(x)={ ( 1 ),( 2 ):} $

1 se $ x\leq0 $
2 se $ x\geq5 $

?

[gugo82]

Ok.
Perchè quella funzione va bene?

[Bulls]

non è continua nell'intervallo

[gugo82]

No, altrimenti non andrebbe bene per risolvere l'esercizio.
Guarda bene.

[Bulls]

la funzione non fa parte dell'intervallo

[axpgn]

Mi ricordo che un "tempo" una definizione che si "usava" diceva così: "Data una funzione definita in un intervallo e ivi continua ..."; dovrebbe bastarti no?

Cordialmente, Alex

[gugo82]

la funzione non fa parte dell'intervallo

E cosa significa?

[Bulls]

La funzione non è definita nell'intervallo