Esercizio Convergenza puntuale e uniforme

[pitagora11]

Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Analisi II e al momento sto studiando la convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni. E' evidente che c'è ancora qualcosa che mi sfugge per quanto riguarda gli esercizi, dato che non riesco a trovarmi con il risultato del seguente esercizio (indico con (fn) la successione di funzioni):

Studiare convergenza puntuale e uniforme di:
$ (fn)(x) = { ( 0 hArr x=0 ),( n hArr x in(0,1/n)),( 0 hArr x in [1/n,1]):} $

Studiando la convergenza puntuale, infatti, mi trovo che $ (fn)(0) = 0 = (fn)(1) $
mentre se $ x in(0,1/n) $ allora $ lim_(n -> +oo) (fn)(x) = n -> +oo $

Ciò mi dovrebbe far dedurre che la successione non converge puntualmente, ma sugli appunti del professore c'è scritto che la successione converge puntualmente alla funzione limite $ f(x)=0 $ per ogni $ x in [0,1] $ .
Ovviamente inuile calcolare la convergenza uniforme se prima non risolvo questo problema.
Mi sapreste dire dove sbaglio? Grazie in anticipo

[dan95]

Cambiano gli intervalli per $n \rightarrow +\infty$, l'intervallo $(0,1/n)$ dove $f_n(x)=n$ tende ad essere sempre più stretto sino a sparire del tutto nell'insieme vuoto $(0,0)$

[pitagora11]

Ah ok, immaginavo una cosa del genere ma credevo che non fosse possibile.

Continuando lo svolgimento, avrei che la funzione limite a cui la successione converge puntualmente è $ f(x) = 0 $.

Quindi calcolo $ lim_(n -> +oo) max_(x in [0,1]) abs(f_n(x)-f(x)) = lim_(n -> +oo) max_(x in [0,1]) f_n(x) = ? $

Ma qual è il risultato? E' n visto che teoricamente è quello il massimo valore della successione, o è ancora 0 visto che gli intervalli, come per la convergenza puntuale, si restringono e quindi al tendere di n all'infinito non c'è alcun valore che non sia 0?

Sugli appunti del professore, il risultato è che la successione non converge uniformemente (quindi presuppongo che consideri n il valore massimo, e che quindi il limite diverga), ma che convergerebbe uniformemente se invece l'intervallo considerato fosse del tipo $ [a,1] $ con $ a>0 $. Ma perchè? Non mi sono proprio chiari questi esercizi con gli intervalli "variabili"

[dan95]

Prima parte OK infatti $max_{x \in [0,1]} |f_n(x)-0|=n$ per ogni $n \in NN$.
Se l'intervallo da considerarsi fosse $[a,1]$ avremo che per $n_k$ sufficientemente grande t.c. $1/n_k <a$ la funzione rimarrà definitivamente all'interno di un intervallo lagrangiano e $max_{x \in [a,1]} |f_n(x)-0|=0$ definitivamente ($\forall n \geq n_k$) e quindi convergerà uniformemente

[pitagora11]

Grazie mille per l'aiuto

[dan95]

Ma hai capito perché c'è conv. uniforme in $[a,1]$?

[pitagora11]

Si, è chiarissimo, grazie!

Magari se svolgo un altro esercizio simile, puoi dare uno sguardo per dirmi se è svolto bene?
Studiare convergeneza puntuale e uniforme di:
$ f_n(x)={ ( x^4 hArr abs(x)<n ),( n^4 hArr abs(x)>=n ):} $

Per quanto riguarda la convergenza puntuale, per $ n->+oo $ abbiamo che vale il primo intervallo e quindi la funzione limite è $ f(x)=x^4 $ .

Studiamo la convergenza uniforme:
$ lim_n maxabs(n^4-x^4)->+oo $
e siccome il limite diverge, allora la successione non converge uniformemente. Anzi, convergerebbe uniformemente per $ n^4= x^4 $

E' giusto? Oppure con questo tipo di intervalli (che non si riducono ad intervalli infinitesimi) devo studiare i due casi separatamente? (non ho le soluzioni dell'esercizio, quindi non ho proprio "punti di riferimento"). Grazie

[dan95]

Prima parte va bene
Consideriamo il limite puntuale:
$\lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x_0)=x_0^2$
Da come è definita la funzione $f_n(x_0)=x_0^2\ \forall n \geq x_0$ cioè definitivamente e dunque $f_n \rightarrow x^2$ puntualmente...
La seconda parte presenta un'imprecisione quando dici:

Studiamo la convergenza uniforme:
$lim_n max∣∣n4−x4∣∣→+∞$

È $Sup |f_n(x)-x^4|=Sup |g_n(x)|$, dove:
$g_n(x):={(0\ se\ |x| \leq n),(n^2-x^2\ se\ |x|>n):}$
Quindi è chiaro che $Sup |g_n|=+\infty\ \forall n$, dunque non c'è conv. uniforme in $RR$

[pitagora11]

Si, diciamo che ho considerato sin da subito il valore massimo, ma giustamente è più corretto scrivere la forma da te esposta.
Grazie ancora allora, sei stato veramente chiaro e gentile

[dan95]

Attento non $max_{x \in RR}$ ma $Sup_{x \in RR}$
Infatti la funzione $|g_n(x)|$ non è limitato superiormente dunque in $RR$ non possiede un punto di massimo assoluto