Problema 4 SNS 2015

[tommy1996q]

no devi verificare che ogni quadrato magico che non ha solo 1 o 0 può essere ottenuto come media di altri 2, ma non sono sicuro sulla correttezza della dimostrazione....

[xXStephXx]

Nel modo che avevo scritto prima dovresti riuscire a costruire esplicitamente un quadrato da sommare e sottrarre a quello di partenza, in modo da ottenerlo come media. Non mi vengono alternative per ora.

[coleridge]

Nel modo che avevo scritto prima dovresti riuscire a costruire esplicitamente un quadrato da sommare e sottrarre a quello di partenza, in modo da ottenerlo come media. Non mi vengono alternative per ora.

Credo che basti

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

trovare un "percorso" chiuso lungo caselle con elementi diversi da 0 e da 1, alternando "mosse di torre" orizzontali e verticali

[tommy1996q]

Potresti spiegarti un po' meglio? nn ho idea di cosa siano le mosse di cui parli....

[coleridge]

Puoi aggiungere qualcosa ad una casella $a(1)$, ma per far tornare la somma sulle righe devi anche devi toglierlo ad un'altra casella $a(2)$ sulla stessa riga di $a(1)$.
Ora per far tornare la somma sulla colonna di $a(2)$ devi aggiungerlo ad un'altra casella $a(3)$ sulla stessa colonna di $a(2)$.
E poi toglierlo ad una casella sulla stessa riga di $a(3)$, e così via...

[tommy1996q]

ah ok ho capito

[maCrobo]

PREMESSA: del topic ho letto solo il problema per evitare di leggere la soluzione.

Prendendo due quadrati magici $X$ e $Y$, avrò ogni cella denominata con un indice, quindi per due celle con lo stesso indice appartenenti ai due quadrati magici avrò $x_i$ e $y_i$ come valori che trovo nelle celle.
Faccio la loro media aritmetica $m_i=0.5*(x_i+y_i)$ e vedo quali sono i risultati possibili.
Avrò che $m_i$ è sempre un valore compreso tra 0 e 1, quindi posso avere 0 solo se $x_i=y_i=0$ e 1 se $x_i=y_i=1$.
Può un valore di cella compreso tra 0 e 1 essere espresso come media aritmetica di due distinti? La risposta è si perché è sempre possibile avere in due celle distinte i due valori $x_i=a+\delta$ e $y_i=a-\delta$ con $\delta$ piccolo a piacere tale da non uscire dall'intervallo $[0,1]$.
Quando stai su 0 oppure 1 è chiaro quindi che non c'è modo di esprimere il valore con la media tra due altri numeri distinti nell'intervallo, quindi come media di due celle di due altri quadrati.

Dunque, ogni cella di un quadrato magico puro deve avere un valore di 0 oppure 1, in modo però da soddisfare la condizione di somma tra celle sulla stessa riga o colonna. È ovvio che non è possibile avere un quadrato con tutti uno o tutti zero. Si dovrà perciò avere che ogni quadrato avrà $n$ celle pari ad $1$ e le restanti pari a $0$. Il motivo è che una singola cella con valore $1$ è sufficiente a soddisfare la condizione richiesta lungo la riga e la colonna di cui fa parte, dato che ci sono $n$ colonne e $n$ righe, ma una cella di valore $1$ copre sia una riga che una colonna, allora ci devono essere esattamente $n$ celle con valore $1$. Se ce ne fossero di più, una riga o colonna non soddisferebbe la condizione, se ce ne fossero meno idem.

[coleridge]

Quando stai su 0 oppure 1 è chiaro quindi che non c'è modo di esprimere il valore con la media tra due altri numeri distinti nell'intervallo, quindi come media di due celle di due altri quadrati.

Perché? Ovvero: se in una casella hai 0 o 1 allora è media di due caselle uguali, ma perché anche i quadrati intorno devono essere uguali?

[maCrobo]

In quel passaggio lì volevo solo dire di due celle appartenente a due quadrati distinti. Per intervallo intendo quello che va da 0 a 1, non righe o colonne. Il ragionamento in quel punto è ancora solo per singole coppie di celle di quadrati magici.

[coleridge]

D'accordo.

Dunque, ogni cella di un quadrato magico puro deve avere un valore di 0 oppure 1

Qui però stai passando dalla casella singola all'intero quadrato magico... come?

In altre parole, ogni casella $m_i$ la puoi scrivere come media di $x_i$ e $y_i$ nell'intervallo, va bene; ma come fai a sceglierli in modo che il quadrato formato dagli $x_i$ sia magico?