Moto di un elettrone entro un condensatore in un campo magnetico.

[Silvere]

Mi trovo in difficoltà con questo problema:

La piastra negativa di un condensatore piano è investita da raggi ultravioletti e, per effetto fotoelettrico,
degli elettroni (carica -e, massa me) fuoriescono da essa con velocità trascurabili. Tra le due armature poste
a distanza d esiste una d.d.p. ΔV e, inoltre, lo spazio racchiuso tra esse è sede di un campo magnetico
uniforme e costante, parallelo alle armature e di modulo B. Si dimostri che, se, $ Delta V<1/2(B^2d^2e)/m_e $ nessun
elettrone raggiunge l'armatura positiva.

Ora analizzando le forze che agiscono sull'elettrone, la forza dovuta al campo elettrico è diretta nel verso positivo delle x, e la forza dovuta al campo magnetico (quando l'elettrove inizia a muoversi) è rivolta nel verso positivo lungo l'asse y. Non credo che ci siano altre forze agenti sull'elettrone. Quindi perchè questo dovrebbe non raggiungere l'armatura positiva del condensatore?

[RenzoDF]

... perchè questo dovrebbe non raggiungere l'armatura positiva del condensatore?

Ovviamente perché il campo magnetico la fa curvare prima che possa arrivarci; per risolvere ti basterà ricordare la forza di Coulomb Lorentz scomponendola lungo i due assi, osservare che al limite l'elettrone potrà sfiorare l'armatura positiva con una velocità a sola componente in y e che la forza magnetica, contrariamente a quella elettrica, non compie lavoro.

[Silvere]

$ F_x=e(DeltaV)/d=e/d1/2(B^2d^2e)/m $ che sarebbe la forza di Coulomb ed è costante nel tempo e $ F_y=eF_x/mt=(e^3B^3d^2t)/(2dm^2) $ che sarebbe la forza di Lorentz e cresce col passare del tempo. Ma continua a non essermi chiara una cosa... se la $ F_x $ è costante, nonostante la traiettoria dell'elettrone si incurvi sempre più, prima o poi all'ascissa dell'armatura positiva ci arriverà, perchè ci sarà sempre una componente dell'accelerazione lungo x, o sbaglio? Quindi l'elettrone non arriva a raggiungere l'armatura positiva perchè prima di arrivare a essa esce dallo spazio compreso tra le due piastre? Ma se così fosse non mi servirebbe conoscere la geometria di queste per risolvere il problema?

Edit: devi scusarmi, ho realizzato solo ora che la forza di Lorentz non è sempre diretta nella direzione di y, ma si mantiene sempre perpendicolare alla velocità. Quindi quello che ho scritto sopra è completamente sbagliato
Vista la mia lucidità mentale attuale mi conviene andare a dormire, il problema lo risolverò domattina. Ti ringrazio Renzo, se incontrerò altri problemi mi riservo di continuare a disturbarti domani

[RenzoDF]

... la forza di Lorentz non è sempre diretta nella direzione di y, ma si mantiene sempre perpendicolare alla velocità.

Proprio così, prova a scrivere le due componenti della forza totale lungo x e lungo y e noterai che ...

[Silvere]

Proprio così, prova a scrivere le due componenti della forza totale lungo x e lungo y e noterai che ...

Non ci riesco, cioè le due componenti sono variabili le dovrei scrivere in funzione del tempo?
Comunque io ti propongo il mio ragionamento, vediamo se è corretto: Io so che al limite l'elettrone sfiorerà l'armatura positiva con una velocità a sola componente in y. Quindi per $x=drArrv=v_y$ e posso ricavala da considerazioni energetiche, perchè la forza di Lorentz non compie lavoro quindi $ 1/2mv^2=DeltaVerArr v=sqrt((2eDeltaV)/m) $ Ora per $x=d$ la forza di Coulomb è sempre orientata nel verso positivo delle x e vale $F_c=e(DeltaV)/d$ e la forza di Lorentz è orientata lungo la stessa direzione ma in verso opposto e vale $F_l=-evB$. Fin qui sono abbastanza sicura che il ragionamento fili, ora qui mi sorge un dubbio, io avevo eguagliato le due forze sennonchè il potenziale mi veniva il quadruplo di quello che dovrebbe. Allora ho capito che la foroza di Lorentz deve essere doppia rispetto a quella di Coulomb, ma non riesco a capire perchè
Hai qualche suggerimento da darmi?

[RenzoDF]

... Io so che al limite l'elettrone sfiorerà l'armatura positiva con una velocità a sola componente in y. Quindi per $x=drArrv=v_y$ e posso ricavala da considerazioni energetiche, perchè la forza di Lorentz non compie lavoro quindi $ 1/2mv^2=DeltaVerArr v=sqrt((2eDeltaV)/m) $

questa è proprio una delle relazioni risolutive.

... Ora per $x=d$ la forza di Coulomb è sempre orientata nel verso positivo delle x e vale $F_c=e(DeltaV)/d$

... e qui pure!

... e la forza di Lorentz è orientata lungo la stessa direzione ma in verso opposto e vale $F_l=-evB$.

Non proprio, quella è sì la forza di Lorentz, ma dobbiamo considerare le sue due componenti, e la componente che andrà ad opporsi alla forza di Coulomb sarà solo quella lungo x che dipenderà dalla componente lungo y della velocità v dell'elettrone

$F_{lx}=-ev_yB$

verrà quindi ad essere indispensabile conoscere la velocità lungo y della particella che sarà facilmente ricavabile dalla componente lungo y della forza di Lorentz

$F_{ly}=ev_xB$

velocità che sarà utile esprimere in funzione della generica ascissa x, $v_y (x)$ per agganciarci alla relazione energetica iniziale , lascio a te scoprire come.

[Silvere]

Ma scusa quando l'elettrone si trova a x=d la componente lungo x della velocità non è nulla? E quindi non dovrebbe essere nulla la componente lungo y della forza di Lorentz? E quella lungo x valere $ F_{lx}=-ev_yB= -esqrt((2eDeltaV)/m)B $ ?

[RenzoDF]

Certo, ma così ci rimane la $v_y$ fra i piedi e non abbiamo dimostrato quella disequazione.

Il passo finale è appunto quello di ricavare $v_y(x)$ a partire dal moto lungo y della particella sottoposta alla forza $F_{ly}$ e inserire $v_y(d)$ in quella relazione.

[Silvere]

...ricavare $v_y(x)$ a partire dal moto lungo y della particella sottoposta alla forza $F_{ly}$

Non riesco proprio a ricavare questa relazione

[RenzoDF]

La ricavi dalla seguente

$F_{ly}= m \dot {v}_y =eBv_x=eB\dot x$