$A=(x^2+4y^2<=20,3x-2y<=10)$
Riconosco l'ellisse che porto in forma canonica $(\frac(x)(2\sqrt(5)))^2+(\frac(y)(\sqrt(5)))^2<=1$
Disegno l'ellisse e riporto anche la retta che taglia l'ellisse nei punti $P_1=(4,1)$ e $P_2=(2,-2)$
Penso quindi di dividere il dominio in 3 parti e di sommare il tutto... La parte relativa all'intervallo $(-2\sqrt(5),0)$ la penso come un integrale su un mezzo ellisse, effettuo il cambiamento di coordinate ed ottengo:
$\int_(0)^(1)\int_(\pi/2)^(3\pi/2) ab\rho \rho cos(\theta)d\rho d\theta=10 (\frac(\rho^3)(3)) sen(\theta)|_(3\pi/2)^(\pi/2) = -40/3$
Il secondo integrale lo penso come l'ellisse nell'intervallo $x\epsilon(0,2)$
$\int_(0)^(2)\int_(-\sqrt(20-x^2)/2)^(\sqrt(20-x^2)/2) xdy dx = -1/3 (16^(3/2)-20^(3/2))$
Per ultimo ho calcolato nell'intervallo $x \epsilon (2,4)$
$\int_(2)^(4)\int_(\frac(3x-10)(2))^(\sqrt(20-x^2)/2) x dy dx = -2/3 (4^(3/2)-16^(3/2)) -1/2(56)+5/2(4)$
Ho provato a sommare tutto e semplificare qualche esponente ma il risultato è diversissimo dal risultato corretto 10 che ho come soluzione... Ho forse risolto nel modo sbagliato??? Ho fatto qualcosa che non dovevo fare?
Grazie
