LIMITE DI FUNZIONE

[stepmente]

Buongiorno ragazzi mi servirebbe aiuto per questo limite:

$\lim_{x \to \infty} (x-1)^2/(sqrt(x^2+1))-x$

Grazie in anticipo.

[mazzarri]

Idee tue?

[stepmente]

Ho provato a fare la sottrazione, ma non sono giunto a nessuna conclusione .

[mazzarri]

Perdona la poca rigorosità

Qualcun altro saprà essere più rigoroso e fare tutti i passaggi

tu devi fare

$lim_(x->infty) (x-1)^2/sqrt(x^2+1) -x$

Guardiamo prima la sola frazione:

al denominatore hai una quantità che all'infinito si comporta come $x$

al numeratore hai una quantità che all'infinito si comporta come $x^2-2x$ cioè come $x(x-2)$

in totale quindi la frazione all'infinito si comporta come $x-2$

facendo ancora la sottrazione della $x$ a destra il limite resta $-2$ che dovrebbe essere il risultato

$lim_(x->infty) (x-1)^2/sqrt(x^2+1) -x = -2$

ciao!

[stepmente]

Potresti spiegarmi perchè al numeratore ho una quantità che all'infinito si comporta come $x^2−2x$ , e al denominatore ho una quantità che all'infinito si comporta come $x$?

[mazzarri]

Al denominatore hai

$sqrt(x^2+1)$

Immagina che $x$ sia infinitamente grande, un numero grandissimo. Che ne so, 100000000000... ok? Se adesso aggiungi $1$ poco conta... diventa 1000000000001 che è praticamente come prima... è come se fosse $sqrt(x^2)$ cioè $x$ (dato che stiamo guardando $+infty$)
Cioè, detta in parole povere, all'infinito $sqrt(x^2+1)$ e $sqrt(x^2)$ sono lo stesso numero ok?
Prova a fare $sqrt 1000001$ e $sqrt 1000000$ alla calcolatrice e te ne accorgi da solo...

Il numeratore invece è

$(x-1)^2=x^2-2x+1$

e anche qui, se consideri un $x$ grandissimo quell' $1$ conterà poco... il tuo numero all'infinito sarà praticamente $x^2-2x$ che raccogliendo diventa $x(x-2)$

la tua frazione allora sarà in parole povere circa $(x(x-2))/x=x-2$ ok? per lo meno avrà, come si dice, questo comportamento all'infinito

ti è chiaro?

Tieni presente che queste considerazioni sono "praticone" e molto poco rigorose, in molti staranno tappandosi il naso per quello che ti sto scrivendo... però funziona spesso e volentieri questo modo di vedere le cose