esersicio dalla Romania

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Se abbiamo la funzione f, \( \displaystyle f(x)\neq 0 \) e f'' continua, e ancora , \( \displaystyle f^{4}(x)=f(2x) \) , per ogni \( \displaystyle x\in \mathbb{R} ,/// f(1)=e. \)

Dobbiamo dimostrare che :

A. \( \displaystyle \displaystyle f(x)=e^{x^{2}}. \)

B. \( \displaystyle f''(x)< f(x+1)-2f(x)+f(x-1) \) ,per ogni \( \displaystyle x\in \mathbb{R}. \)

Γ. \( \displaystyle per ogni x\in (0,1), esiste c\in (0,1) \) , cioe' \( \displaystyle \displaystyle \frac{f(x)-1}{x}-e+1=\frac{f''(c)\cdot (x-1)}{2} \) .

Δ Per ogni \( \displaystyle a,\beta \in \mathbb{R}, 0< a< \beta και x> 0, \) abbiamo \( \displaystyle \displaystyle f\left ( a^{x} \right )-f\left ( \beta ^{x} \right )

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I due primi A.B. gli mando sta sera .
Provate le altre due

dennys

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Derivando \( \displaystyle 2f^3(x)f'(x)=f'(2x) \) e diviso \( \displaystyle f\neq 0, \Rightarrow 2\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f'(2x)}{f(2x)} \) , perche' \( \displaystyle f(x)>0 ,f(x)\neq 0 ,f(1)>0) \)
e abbiamo dal'ultima \( \displaystyle f(0)=1, f'(0)=0 \)

Se mettiamo \( \displaystyle g(x)=\frac{f'(x)}{f(x)} \Rightarrow 2g(x)=g(2x) , g'(x)=g'(2x) \) e mettendo \( \displaystyle x/2 ,x/4,...x/2^n \)
abbiamo multiplicando \( \displaystyle g'(x)=g'(\frac{x}{2^n}) \) e con limiti \( \displaystyle n \rightarrow \infty \Rightarrow \) , \( \displaystyle g'(x)=g'(0)=c,c\in R \Rightarrow g(x)=cx+c' \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=cx+c' \Rightarrow f(x)=e^{x^2} \)

b) Dobbiamo dimostrare \( \displaystyle 2e^{x^2}(1+2x^2)perche da (1): se \( \displaystyle g(x)=e^{2x+1}+e^{1-2x}-4x^2-4, \Rightarrow g''(x)>0,g' \) crescente \( \displaystyle g'(0)=0\rightarrow g'(x)>0,x>0,g'(x)<0,x<0\Rightarrow g>0 \)