Esercizio Analisi

[daenerys]

Mi servirebbe un aiuto su questo esercizio:

Siano f(x)=6arcsin($sqrt (x)$) e g(x)= $pi + sqrt(3)(4x-1)$
1) Dimostrare che f(x)<= g(x) per ogni $x in [0,3/4]
2) Quante sono le soluzioni dell'equazione f(x)=g(x) in [0,1]?

Allora io per il punto 1 ho cercato di dimostrarlo graficamente, ovvero studiando il grafico delle due funzioni nell'intervallo considerato, tuttavia non c'è un modo migliore per dimostrarlo?

Mentre per il secondo ho usato il teorema degli zeri applicato alla funzione f(x) - g(x), questa mi da valori discordi agli estremi dell'intervallo e perciò all'interno di (0,1) esiste almeno una soluzione. Inoltre, essendo entrambi le funzioni crescenti, posso dire che la soluzione è unica?

[mazzarri]

Ciao Daenerys

Per il punto 1) anche io andrei con una risoluzione "grafica"

Per il punto 2) come correttamente suggerisci tu bisogna trovare gli zeri della funzione

$y(x)=f(x)-g(x)=6 arcsin sqrt x -pi - sqrt 3 (4x-1)$

Utilizzi il teorema di esistenza degli zeri e noti che

$y(1)=2 pi - 3 sqrt3 >0$

$y(0)= sqrt3 -pi <0$

e concludi che nell'intervallo considerato esiste ALMENO uno zero. Per vedere se è unico devi fare la derivata che se non erro è

$y'(x)=3/sqrt(x(1-x)) -4sqrt3$

ma potrei sbagliare... controlla

Ora fai la disequazione

$y'(x)>0$

Ora attenzione, se la risposta fosse $AA x in (0,1)$ allora potresti dire che la derivata è sempre positiva, quindi la funzione sempre crescente, quindi che lo zero è unico.
Questo succede quasi sempre lo zero è quasi sempre unico negli esercizi... ma qui no...

Confesso di non aver fatto la disequazione a mano ma di aver utilizzato un grezzo strumento elettronico, speriamo non abbia sbagliato... ci avrei messo troppo tempo e ho ceduto.
la derivata nell'intervallo dovrebbe essere prima positiva poi negativa poi positiva... quindi $y(x)$ crescente, decrescente, crescente.... e gli zeri sono 3.

Per trovarli, dato che NON sai dalla disequazione quanti zeri ci sono (purtroppo stavolta è così) puoi fare così... sai che $y(x)$ è crescente, decrescente, crescente... quindi avrà un massimo e un minimo relativi... quasi come un polinomio di terzo grado... trovali!!! se il massimo fosse negativo lo zero sarebbe uno solo (a destra del minimo) ... se il massimo fosse nullo gli zeri sarebbero due... qui il massimo è positivo e allora gli zeri devono essere tre

Per trovarli, anche se non è richiesto, devi usare il metodo delle tangenti di Newton. Ne trovi uno circa a 0.23, uno circa a 0.27 e il terzo tra 0.9 e 1.0

ciao!

[daenerys]

Quindi in pratica posso vedere le soluzioni osservando la crescenza di f - g?
Grazie infinite comunque!

[mazzarri]

Quindi in pratica posso vedere le soluzioni osservando la crescenza di f - g?
Grazie infinite comunque!

Più o meno... valuti si la crescenza/decrescenza della funzione $f-g$ tramite la sua derivata prima ma poi

1) se come spesso succede la funzione è SEMPRE crescente o decrescente allora concludi che esiste un solo zero

2) se la funzione non è sempre crescente (o decrescente) valuti dove sono i massimi e i minimi, fai un piccolo grafico approssimativo e a spanne valuti quanti zeri possono esserci... poi magari controlli usando il teorema degli zeri per intervalli più piccoli

ciao!

[daenerys]

Perfetto ho provato a studiare il grafico della funzione f-g per vedere quante volte il grafico interseca l'asse x, e se non ho sbagliato i conti le intersezioni vengono proprio 3, quindi il teorema dell'esistenza degli zeri mi dice che ha almeno uno zero in quell'intervallo, poi studiandone il grafico trovo esattamente le soluzione quante sono

Grazie infinite!

[mazzarri]

quindi il teorema dell'esistenza degli zeri mi dice che ha almeno uno zero in quell'intervallo, poi studiandone il grafico trovo esattamente le soluzione quante sono

esatto!! Hai capito il teorema di esistenza degli zeri... se una funzione è continua e se trovi due punti $a$ e $b$ del grafico di una funzione tali che $f(a)f(b)<0$ allora tra i due punti c'è ALMENO uno zero... pensaci un attimo la funzione potrebbe andare su e giù un sacco di volte tra i due punti....
Allora per proseguire studi la derivata, se è sempre positiva allora la funzione è sempre crescente e quindi di fatto lo zero non può essere che unico
Se come nel tuo caso la derivata non è sempre positiva ti arrangi trovando i massimi e minimi e facendo un disegno anche non perfetto, devi avere idea di dove possano esserci eventuali zeri... vai un po' a tentoni lo so ma si fa così

ciao!!

[daenerys]

Capito tutto! Grazie mille!