Campo elettrico dovuto a quadrupolo

Messaggioda DavideGenova » 02/09/2015, 20:05

Ciao, amici! Avendo una carica $-2q$ nell'origine, una carica $+q$ in $z=a$ e una carica $+q$ in $z=-a$, leggo che il campo elettrico decresce, sia sull'asse delle $z$ sia sul piano ortogonale a tale asse, con $r^{-4}$, dove $r$ è la distanza dal dipolo, per \(r\gg a\).
Chiamo per brevità $E_1$ ed $E_2y$ le componenti, del campo sull'asse rispettivamente delle $z$ e delle $y$, relative ai rispettivi assi, che sono anche le uniche non nulle dei due campi, direi. Trovo\[E_1=kq\Bigg(\frac{1}{(z-a)^2}+\frac{1}{(z+a)^2}-\frac{2}{z^2} \Bigg)\text{sgn}(z)\]\[E_2=kq\Bigg(\frac{2y}{(y^2+a^2)^{3/2}}-\frac{2\text{sgn}(y)}{y^2} \Bigg)\]
Però non riesco a trovare approssimazioni per \(|z|\gg a\) e \(|y|\gg a\) che mi permettano di vedere come approssimativamente \(E\propto r^{-4}\).
Ringrazio di cuore chiunque mi aiuti a trovare un modo opportuno per rilevare questa proporzionalità approssimativa.
Ultima modifica di DavideGenova il 03/09/2015, 09:45, modificato 1 volta in totale.
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Re: Campo elettrico dovuto a quadripolo

Messaggioda RenzoDF » 02/09/2015, 21:20

DavideGenova ha scritto:... Però non riesco a trovare approssimazioni per \(|z|\gg a\) e \(|y|\gg a\) che mi permettano di vedere come approssimativamente \(E\propto r^{-4}\).

Mai fatto uno sviluppo in serie di Laurent? :wink: ... ad ogni modo, uno sviluppo binomiale1 ti sarà di certo familiare! ... ovviamente per la prima relazione si possono anche semplicemente sommare i termini dentro parentesi.

Note

  1. Come hai fatto nel precedente 3D sulla carica oscillante metti in evidenza a denominatore il termine dominante; questa volta è z o y.
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Re: Campo elettrico dovuto a quadripolo

Messaggioda DavideGenova » 03/09/2015, 07:35

Grazie per la risposta!!! Il problema è che, per il primo, calcolo\[ E_1=kq\Bigg(\frac{1}{(z-a)^2}+\frac{1}{(z+a)^2}-\frac{2}{z^2} \Bigg)\text{sgn}(z)=\frac{kq}{z^2}\Bigg(\Bigg(1-\frac{a}{z}\Bigg)^{-2}+\Bigg(1+\frac{a}{z}\Bigg)^{-2}-2 \Bigg)\text{sgn}(z)\]e, utilizzando l'approssimazione \((1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+o(x)\), \(x\to 0\),\[E_1=\Bigg(1+2\frac{a}{z}+1-2\frac{a}{z}+o\Bigg(\frac{a}{z}\Bigg)-2\Bigg)\text{sgn}(z)\]ma non mi convince che il campo si annulli, anche se, tecnicamente, essendo sempre nullo, è proporzionale a $r^{-4}$ :-D :(

Per quanto riguarda il secondo, calcolo \[ E_2=kq\Bigg(\frac{2y}{(y^2+a^2)^{3/2}}-\frac{2\text{sgn}(y)}{y^2} \Bigg)=\frac{2kqy}{|y|^3} \Bigg(1-\frac{3}{2}\Bigg(\frac{a}{y}\Bigg)^2 +o\Bigg(\Bigg(\frac{a}{y}\Bigg)^2\Bigg)-1\Bigg) \]e ottengo un'altra espressione approssimativamente nulla...
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Re: Campo elettrico dovuto a quadripolo

Messaggioda RenzoDF » 03/09/2015, 08:56

DavideGenova ha scritto:... e ottengo un'altra espressione approssimativamente nulla...

E' ovvio che sia approssimativamente nulla, allontanandoci sempre di più dal quadrupolo andrà a finire che il campo se ne andrà a zero, ma a noi interessa come ci andrà per distanze r >> a ; stai facendo lo stesso errore del precedente thread, dove x veniva considerato piccolo rispetto al raggio a (x << a), ma non nullo. Qui consideriamo r grande rispetto ad a, ma non infinito. :wink:

Per quanto riguarda gli sviluppi in serie non devi limitarti ai termini che vanno ad annullarsi ma devi andare un po' più avanti per poter ricavare la potenza di z cercata; per esempio, per il primo campo, dentro parentesi1 avrai

$1+\frac{2a}{z}+\frac{3a^2}{z^2}+...+1-\frac{2a}{z}+\frac{3a^2}{z^2}+ ... -2=\frac{6a^2}{z^2}+...$

dipendenza asintotica che come ti dicevo, in questo caso particolare, sarebbe stata ricavabile anche dalla semplice somma dei tre termini

$\frac{6a^2y^2-2a^4}{y^2(y-a)^2(y+a)^2}$

per quanto riguarda E2, annullandosi i due termini unitari dentro parentesi, risulta evidente dalla tua relazione la dipendenza asintotica del "campo lontano" da $y^(-4)$.

BTW Quadrupolo, non quadripolo, che è un'altra cosa. :wink:

Note

  1. Occhio a non dimenticarti del fattore $1/z^2$ esterno.
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Re: Campo elettrico dovuto a quadripolo

Messaggioda DavideGenova » 03/09/2015, 09:51

RenzoDF ha scritto:per quanto riguarda E2, annullandosi i due termini unitari dentro parentesi, risulta evidente dalla tua relazione la dipendenza asintotica del "campo lontano" da $y^(-4)$.
Capito. In questo modo ottengo\[E_1\approx\frac{6kqa^2}{z^4}\text{sgn}(z),\quad E_2\approx\frac{-3kqa^2}{y^4}\text{sgn}(y)\]Ciò che mi turbava è che risultasse una dipendenza da $a$, che credevo dovesse sparire per non avere appunto un termine \((a/y)^2\ll 1\)

RenzoDF ha scritto:Quadrupolo, non quadripolo, che è un'altra cosa. :wink:
:lol: Grazie di tutto: corretto!
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