Esercizio su campo magnetico in un condensatore con dielettrico

[powamaker]

Buongiorno a tutti, sono bloccato su un esercizio che ho tentato di risolvere più volte, ma non riesco a capire se quello che ottengo sia giusto o no.
Il testo è il seguente: lo spazio tra le armature di un condensatore piano è riempito di un materiale dielettrico uniforme non perfettamente isolante, con conducibilità elettrica sigma, costante dielettrica epsilon e permeabilità magnetica mu circa uguale a mu zero. Le armature del condensatore sono circolari di raggio R e separate da una distanza d. Trascurando gli effetti di bordo, determinare il campo magnetico in funzione del tempo tra le armature ad una distanza r dall'asse se la tensione ai capi del condensatore varia come V(t)=V0cos(omega*t).
Io mi sono bloccato qui



Quello che ho fatto è corretto?
Grazie in anticipo a tutti !

[RenzoDF]

... Quello che ho fatto è corretto?

Si, a dire il vero a mio parere l'hai presa un po' alla lontana¹, comunque i tuoi risultati sono corretti, ti manca solo di trasformare quelle due ultime differenze fra funzione sinusoidale e cosinusoidale in una più semplice forma $cos(\omegat+\varphi)$, andando ad applicare "in retromarcia" le formule di addizione.

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Note

1. La soluzione poteva essere ottenuta molto più rapidamente andando a sommare la corrente del ramo conduttivo con quella del ramo capacitivo: per la prima $i_G(t)=G v(t)$, per la seconda $i_C(t)=C (dv(t))/(dt)$ ↑

[powamaker]

Ti ringrazio molto per la tua risposta ! Potresti solo chiarirmi ciò che hai detto nella nota? Non ho ben chiaro che cosa sia la G del ramo conduttivo.
Grazie mille!!

[RenzoDF]

La conduttanza, ovvero l'inverso della resistenza

$G=1/R$

spesso utilizzata in connessioni parallelo come quella del circuito equivalente relativo a quel condensatore con dielettrico conduttivo e la relazione scritta non è altro che la legge di Ohm

$i_G(t)=G v(t)=(v(t))/R$

Giusto per precisare, per $r > R$, avrei semplicemente e direttamente scritto

$B=\mu_0\frac{i}{2\pi r}=\mu_0\frac{i_G+i_C}{2\pi r}= \frac{\mu_0}{2\pi r}(GV_0cos(\omega t)- \omega C V_0sin(\omega t))= \frac{V_0\mu_0 R^2}{2 rd} (\sigma cos(\omega t)-\epsilon \omega sin(\omega t))$

mentre per $r < R$ bastava ricordare il fattore di riduzione superficiale $r^2/R^2$ associato alla ridotta corrente concatenata con la generica linea di forza di raggio r.

[powamaker]

Ah, ho capito!! Grazie ancora!!

[RenzoDF]

Visto che ho un po' di tempo da perdere, giusto per completare il discorso, al fine di andare a condensare la somma dentro parentesi in un più compatto

$kcos(\omega t+\varphi)$

potremo vedere

$\sigma=kcos \varphi $

$\epsilon \omega=ksin \varphi$

che porterà a

$k=\sqrt(\epsilon ^2 \ omega ^2+\sigma ^2)$

$\varphi= arctan(\omega \epsilon / \sigma)$

[powamaker]

Perfetto, è tutto chiaro! Grazie!