Esercizio

[daenerys]

Ho un problema su quest'esercizio:

Per $t in (-2,8)$, sia Q(t) l'area del quadrilatero convesso di vertici A, B, C, D dove A = (-2,0), B=(3,25), C=(t, $-t^2 +6t+16$) e D=(t,0).
Determinare $t_0 in (-2,8)$ tale che $Q(t_0) $= sup $(Q(t): t in (-2, 8))$

Io ho provato a svolgere l'esercizio prendendo un t qualsiasi nell'intervallo che mi è stato dato, per esempio ho preso t=7 e poi dal disegno mi sono calcolata l'area ecc.. però non riesco a capire bene come posso svolgere quest'esercizio in generale, ovvero in funzione di t..

[RenzoDF]

Direi che con la formula per l'area di Gauss si dovrebbe risolvere facilmente: con la scrittura matriciale (4X2) delle coordinate e con la regola a "laccio di scarpa" ricavi in un attimo 2A(t) e ne ricerchi il massimo del valore assoluto.

PS Che sia forse

$t=3+5\sqrt(2/3)$

o ho sbagliato qualche calcolo

PS
https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_d ... a_di_Gauss

[mazzarri]

Grande RenzoDF!!! Arrivare a 48 anni senza averne mai sentito parlare... fatto!! Formula utilissima!! grazie 1000!

[daenerys]

Il problema è che io non ho mai fatto questa formula..come posso risolverlo in un altro modo?

[RenzoDF]

Puoi usare Green per scrivere

$int int_{S}^{ }2dxdy=\int_{ \partial S}^{ } x dy-ydx$

e poi andare a suddividere l'integrale su contorno ai quattro lati del quadrilatero; così facendo andrai sostanzialmente a dimostrare la formula di Gauss, riottenendo lo stesso risultato finale.

[daenerys]

Non sono stati fatti al corso, calcolate che è un esercizio di Analisi 1..

[daenerys]

Comunque alla fine io quella che devo trovare è la t per cui l'area è massima no?.. però Q deve essere comunque convesso

[RenzoDF]

Non sono stati fatti al corso, calcolate che è un esercizio di Analisi 1..

Potremo in questo caso andare a considerare che il punto C va a muoversi sulla parabola che passa per il punto B in quanto ha massimo pari a 25 in x=t=3.

Nell'intervallo di variazione di t l'ordinata di C rimane nel semipiano y>0, ne segue che se C e D (che condividono la stessa ascissa) venissero ad assumere una x<3, l'area del quadrilatero risulterebbe di certo minore di quella relativa al triangolo rettangolo individuato dai punti A, B e dall'asse della parabola.

Di conseguenza il massimo si avrà quindi per x=t >3 e potrà essere determinato ricavando l'area massima del trapezio rettangolo che insiste su B C D e sull'asse della parabola.

$A_t=(B+b)h/2=(25+(-t^2+6t+16))(t-3)/2$

che porta ancora ad un massimo per

$t=3+5\sqrt(2/3)$

[daenerys]

Ho risolto, grazie infinite per l'aiuto!

[RenzoDF]

Ho risolto,...

Puoi dirci come?