Applicazioni polinomiali in Z3

[gennarosdc]

Sia $S$ l'insieme dei polinomi di grado al piu 3 in $Z_3[x]$ , si considerino le applicazioni:

$ varphi _1:finS->f(1)inZ_3 $ e $ varphi _2:finS->f(2)inZ_3 $

Sono surriettive?
io mi trovo di si entrambe..Però ho dei dubbi sul appartenenza del polinomio nullo ad S (so che è di grado $-infty$ )
Mi confermate o smentite che $0inS$?così riesco ad andare avanti con l'esercizio
Grazie in anticipo

[Pappappero]

A seconda delle convezioni il polinomio nullo puo' essere un polinomio di grado $-1$, di grado $-\infty$ o talvolta non ci si preoccupa di dare un grado al polinomio nullo: e' del tutto arbitrario e non crea grossi problemi nella teoria.

Nel tuo caso immagino che chi ha scritto l'esercizio voglia di $0$ sia considerato come un elemento di $S$.

Tuttavia, se $0 \notin S$, cosa potresti dire della suriettivita' di quelle due funzioni?

[gennarosdc]

Tuttavia, se $0 \not\in S$, cosa potresti dire della suriettivita' di quelle due funzioni?

Se così fosse allora le funzioni non sarebbero surriettive perchè non esisterà l'antimmagine di $0inZ_3$
($0inZ_3$ è ottenibile solo mediante il polinomio nullo)..giusto?

[Pappappero]

Qual e' l'immagine di $x-1$ attraverso $\varphi_1$?

[gennarosdc]

Qual e' l'immagine di $x-1$ attraverso $\varphi_1$?

è $0$ ..pertanto le funzioni sarebbero comunque surriettive in ogni caso ..(indipendentemente dal polinomio nullo)
Grazie per la delucidazione

[gennarosdc]

Ora dovrei calcolare Espicitamente l'antimmagine di $0$ mediante la prima funzione ..vorrei poter scrivere che è l'insieme cercato è questo
${finS:f=ax^3+bx^2+cx+d\ con\ a+b+c+d=0\ ,a,b,c,dinZ_3}$
come faccio ad esplicitare tutti i possibili polinomi in maniera veloce ?sono 81 polinomi possibili in $Z_3[x]$ con grado al più 3 giusto ?

[Pappappero]

Esplicitarli cosa significa? Vuoi elencarli tutti? Sono tantini, sapresti dire quanti? (concordo che tutti quanti in $\mathbb{Z}_3[x]$ sono $81$; quanti sono quelli che soddisfano la condizione $a+b+c+d = 0$?)

Per caratterizzare questi polinomi ulteriormente, prova a pensare a cosa ti dice il Teorema di Ruffini.

[gennarosdc]

Esplicitarli cosa significa? Vuoi elencarli tutti? Sono tantini, sapresti dire quanti? (concordo che tutti quanti in $\mathbb{Z}_3[x]$ sono $81$; quanti sono quelli che soddisfano la condizione $a+b+c+d = 0$?)

Per caratterizzare questi polinomi ulteriormente, prova a pensare a cosa ti dice il Teorema di Ruffini.

Mi chiede di scrivere in modo esplicito le antimmagini $A=f1^-1({0})$ e calcolarne la cardinalità

seguendo il tuo suggerimento con il teorema di Ruffini mi trovo che ($1$ deve essere radice):
$A={p\inS\ :\ p=(x-1)(ax^2+bx+c)\ con\ a,b,cinZ_3}$ e
$|A|=27$ è corretto?

[Pappappero]

Corretto!

[gennarosdc]

Corretto!

grazie mille !