Passaggio algebrico raccoglimento?

[AndreaMate.]

Ciao a tutti, non riesco a capire questo passaggio.

$ lim_(x -> +oo) (2sqrt(x^3) )/ ((sqrt(x^3+1)+sqrt(x^3-1))) = lim_(x -> +oo) (2sqrt(x^3) )/(sqrt(x^3) (sqrt(1+1//x^3)+sqrt(1-1//x^3)) $

Non capisco come ha fatto a fare quel raccoglimento. Se non sbaglio si può fare solo al denominatore e quando il limite tende a + infinito

Scusate per la domanda banale.

[@melia]

È un raccoglimento, lo puoi capire facilmente facendo passaggio inverso (la moltiplicazione). La cosa si può fare sempre, basta che il termine che raccogli sia $!=0$, ma anche se tende a 0 non è un problema. Si può fare sia a numeratore che a denominatore, di solito È UTILE SOLO quando il limite tende a infinito, ma qualche volta anche quando tende a 0.

[AndreaMate.]

Grazie, ma ci sono passaggi intermedi prima? Credevo che non si potesse raccogliere una somma di monomi dentro ad una parentesi elevata ad una potenza.
Se faccio il passaggio inverso non so come fare visto che che la somma di monomi è elevata ad una potenza.
Faccio il passaggio senza contare l'elevamento a potenza "della parentesi"?

Hai scritto che il termine da raccogliere deve essere diverso da zero, infatti qualche volta si mette il modulo, qua perchè non c'è? Poi quando metto il modulo non capisco come toglierlo. Alcune volte dopo averlo tolto, il termine che era nel modulo resta positivo, a volte diventa negativo.

Grazie

[andar9896]

Ciao, provo a rispondere io.
Qui si è semplicemente messo il termine $x^3$ in evidenza sotto la radice in questo modo:
$sqrt(x^3+1)=sqrt(x^3(1+1/x^3))= sqrt(x^3) * sqrt(1+1/x^3)$
Per quanto riguarda il modulo, esso va messo nel caso di esponente pari per rendere positivo quel numero...mi spiego meglio:
$sqrt(x^3)=sqrt(x^2 * x)=absx sqrtx$ poiché $sqrt(x^2)=absx$.
In questo caso il modulo può essere tolto perché stiamo parlando di quantità che tendono a $+ oo$ e sono dunque certamente positive!

[AndreaMate.]

Grazie, ora ora ho rifatto il raccoglimento con tutti i passaggi e l'ho capito.
Quindi se il limite di x tende ad un numero negativo, |x| diventa -x prima di sostituire?

[andar9896]

$absx = -x$ se $x<0$ quindi direi che puoi mettere $-x$ direttamente.