Doppio Cilindro Conduttore

[RenzoDF]

Scusa ma quali superfici stai considerando? ... S1 e S2 sono le due superfici di base del cilindro di spessore infinitesimo normali all'asse del sistema e interne ai due diversi conduttori.

[***]

Che sbadato!

$q=\epsilon_0 J \pi R^2 [\rho_1 -\rho_2 ]$

[RenzoDF]

Ok, anche se per il segno ora bisognerebbe specificare se la corrente scorre dal primo cilindro al secondo o viceversa.

[***]

Per come ho definito $q$ scorre dal cilindro 2 ( quello in basso ) al cilindro 1 ( quello in alto ) .

$sigma=\frac{q}{\pi R^2}=\epsilon J [\rho_1 - \rho_2 ] $

Per quando riguarda i campi $B$ avevo pensato di calcolarli cosi :

$\int_{\Gamma] \vec{B}_1 d\vec{r}=\mu_1 i_1$ da cui :

$\vec{B}(r<=R)_1=\frac{\mu_1 i_1}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_1=\pi r^2 J$

$\vec{B}(r>R)_1=\frac{\mu_1 i_1}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_1=\pi R^2 J$

$\vec{B}(r<=R)_2=\frac{\mu_2 i_2}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_2=\pi r^2 J$

$\vec{B}(r<=R)_2=\frac{\mu_2 i_2}{2\pi r} ( \hat{x} \wedge \hat{y} ) $ con $i_2=\pi R^2 J$

[RenzoDF]

Per come ho definito $q$ scorre dal cilindro 2 ( quello in basso ) al cilindro 1 ( quello in alto ) .

Ci avrei scommesso, è la solita (brutta) abitudine dei fisici di inserire il generatore a testa in giù ... noi idraulici facciamo esattamente il contrario.

...
$sigma=\frac{q}{\pi R^2}=\epsilon J [\rho_1 - \rho_2 ] $

Ok, e poi sostituendo J ... avremo ...

... Per quando riguarda i campi $B$ avevo pensato di calcolarli cosi : ...

Alla seconda domanda del testo

... 2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.

non è possibile dare una (semplice) risposta, in quanto la lunghezza finita dei conduttori non permette di usare la forma semplificata della legge di Biot e Savart, ma obbliga ad usare la prima legge di Laplace, al fine di ottenere il campo in ogni singolo punto interno o esterno che sia, via integrazione dei contributi elementari infinitesimi ... ma, vista la domanda, non credo fosse questa l'idea dello stesore, che non ne ha ricordato i limiti.

Per poter risolvere (in via approssimata) in quel modo, bisognerebbe infatti ipotizzare come minimo una dimensione $h$ di diversi ordini di grandezza superiore al diametro dei due cilindri $h \text{>>} R$ e limitarsi a considerare una zona prossima alla giunzione dei due cilindri; con queste ipotesi addizionali, per il campo esterno $r > R$, non servirà distinguere fra conduttore superiore e inferiore in quanto la corrente $i_1$ è uguale alla $i_2$, ricavando $H$ e $B=\mu_0H$, entrambi inversamente proporzionali a $r$ e direttamente proporzionali alla corrente totale.

Per quanto riguarda il campo interno $r < R$, dovremo invece considerare per il campo $H=H_1=H_2$ la sola frazione $i_p$ della corrente $i$ interna al generico cilindro di raggio $r $, come hai correttamente fatto, e solo in questo caso distinguere il campo $B$ in $B_1$ e $B_2$ per i punti dei due diversi mezzi cilindri.

BTW Come hai scelto gli assi? ... Occhio che il versore risultante da quel prodotto vettoriale (simbolo ormai "preistorico") viene a essere corretto solo per i punti di un semipiano.

[***]

Per come ho definito $q$ scorre dal cilindro 2 ( quello in basso ) al cilindro 1 ( quello in alto ) .

Ci avrei scommesso, è la solita (brutta) abitudine dei fisici di inserire il generatore a testa in giù ... noi idraulici facciamo esattamente il contrario.

Ahahahah abbiamo tantissime brutte abitudini , per esempio approssimare mucche a sfere ( c'è un bellissimo trattato su ciò ) , un'altra è l'affibiare il sostantivo "oggetto" a qualunque cosa si muova lol

... 2) Calcolare campi $\vec{B}$ e $\vec{H}$ all'interno ed esterno del conduttore assumendo che i due materiali abbiano permeabilità magnetiche diverse.

non è possibile dare una (semplice) risposta, in quanto la lunghezza finita dei conduttori non permette di usare la forma semplificata della legge di Biot e Savart, ma obbliga ad usare la prima legge di Laplace, al fine di ottenere il campo in ogni singolo punto interno o esterno che sia, via integrazione dei contributi elementari infinitesimi ... ma, vista la domanda, non credo fosse questa l'idea dello stesore, che non ne ha ricordato i limiti.

Per poter risolvere (in via approssimata) in quel modo, bisognerebbe infatti ipotizzare come minimo una dimensione $h$ di diversi ordini di grandezza superiore al diametro dei due cilindri $h \text{>>} R$ e limitarsi a considerare una zona prossima alla giunzione dei due cilindri; con queste ipotesi addizionali, per il campo esterno $r > R$, non servirà distinguere fra conduttore superiore e inferiore in quanto la corrente $i_1$ è uguale alla $i_2$, ricavando $H$ e $B=\mu_0H$, entrambi inversamente proporzionali a $r$ e direttamente proporzionali alla corrente totale.

Per quanto riguarda il campo interno $r < R$, dovremo invece considerare per il campo $H=H_1=H_2$ la sola frazione $i_p$ della corrente $i$ interna al generico cilindro di raggio $r $, come hai correttamente fatto, e solo in questo caso distinguere il campo $B$ in $B_1$ e $B_2$ per i punti dei due diversi mezzi cilindri.

Nella teoria , per conduttori cilindrici , non facciamo alcuna ipotesi sulle dimensioni e applichiamo direttamente la legge di Biot-Savart ... In tal caso come dovrei muovermi per calcolare il campo con la legge di Laplace ?

BTW Come hai scelto gli assi? ... Occhio che il versore risultante da quel prodotto vettoriale (simbolo ormai "preistorico") viene a essere corretto solo per i punti di un semipiano.

Immaginando il generatore cilindrico uno sopra l'altro , la sua direttrice è parallela all'asse delle z , mentre la base del cilindro 1 giace sul piano xy . Si hai ragione , è abbastanza preistorico , sarebbe meglio introdurre un versore $hat{\phi}$ nel piano xy .

[RenzoDF]

... Nella teoria , per conduttori cilindrici , non facciamo alcuna ipotesi sulle dimensioni e applichiamo direttamente la legge di Biot-Savart ... In tal caso come dovrei muovermi per calcolare il campo con la legge di Laplace ?

Vuoi forse dirmi che non la conosci nemmeno? ... non riesco a capire come sia possibile.

... Immaginando il generatore cilindrico uno sopra l'altro , la sua direttrice è parallela all'asse delle z , mentre la base del cilindro 1 giace sul piano xy .

Allora hai proprio sbagliato, in quanto con il prodotto vettoriale dei due versori $\hat x $ e $\hat y$ ottieni il versore $\hat z$ parallelo all'asse dei cilindri e non normale allo stesso, come dovrebbe essere per i campi H e B.

... Si hai ragione , è abbastanza preistorico , sarebbe meglio introdurre un versore $hat{\phi}$ nel piano xy .

Intendevo riferirmi al simbolo $\wedge$ usato per indicarlo.

[***]

Certo che la conosco .