Sottocampi massimali che evitano certi elementi

[Pappappero]

Propongo un argomento forse arci-trattato e arci-noto, ma di cui non so molto e che vorrei investigare un po' di piu'.

Indichiamo con $\mathbb{Q}$ il campo dei numeri razionali, e con $\bar{\mathbb{Q}}$ la sua chiusura algebrica. Sia $\mathbb{L}$ un campo intermedio con \(\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{L} \subseteq \bar{\mathbb{Q}}\) e sia \(\alpha \in \mathbb{L} - \mathbb{Q}\).

Esiste un sottocampo \(\mathbb{F} \subseteq \mathbb{L}\) tale che \(\alpha \notin \mathbb{F}\) e $\mathbb{F}$ e' massimale tra tutti i sottocampi di $\mathbb{L}$ che non contengono $\alpha$ [questo e' un esercizio carino se si sta imparando a usare il Lemma di Zorn - ammesso che io lo abbia usato correttamente].

Mi sembra che in generale non sia vero che \(\mathbb{F}[\alpha] = \mathbb{L}\), perche', ad esempio, in $\mathbb{F}$ non ci sono elementi che potenzialmente stanno in $\mathbb{L}$ e che fanno $\alpha$ ad una qualche potenza e tali elementi non stanno in $\mathbb{F}[\alpha]$. Se ad esempio \(\mathbb{L} = \mathbb{Q} [\sqrt[4]{2}]\) e $\alpha = \sqrt{2}$, allora $\mathbbF = \mathbb{Q}$ e $\mathbb{F} [\alpha] \ne \mathbb{L}$. Dico bene?

Non riesco neanche a dimostrare facilmente, anche se a occhio dovrebbe essere vero, che in generale l'estensione $\mathbb{L} | \mathbb{F}$ sia finita. E' vero?

Per ora una dimostrazione facile di questo fatto mi farebbe contento. Piu' tardi mi vorrei concentrare su sottocampi che evitano "piu' di un singolo elemento", ma di questo parleremo piu' tardi.

[j18eos]

...Mi sembra che in generale non sia vero che \(\mathbb{F}[\alpha] = \mathbb{L}\), perche', ad esempio, in $\mathbb{F}$ non ci sono elementi che potenzialmente stanno in $\mathbb{L}$ e che fanno $\alpha$ ad una qualche potenza e tali elementi non stanno in $\mathbb{F}[\alpha]$. Se ad esempio \(\mathbb{L} = \mathbb{Q} [\sqrt[4]{2}]\) e $\alpha = \sqrt{2}$, allora $\mathbbF = \mathbb{Q}$ e $\mathbb{F} [\alpha] \ne \mathbb{L}$. Dico bene?...

Sì, mi trovo anch'io;

più in generale, basta scegliere un'estensione (algebrica) \(\displaystyle\mathbb{L}\) di \(\displaystyle\mathbb{Q}\) con grado di estensione \(\displaystyle p\) numero primo.

[Pappappero]

Non ho capito il "piu' in generale"...

Comunque in merito alla seconda parte: in generale credo che l'estensione $\mathbb{L} | \mathbb{F}$ si guardi bene dall'essere finita. Prendiamo ad esempio, fissato $q \in \mathbb{Q}$ un non quadrato
\[
\mathbb{L} = \mathbb{Q} [\beta: \beta \text{ radice $m$-esima di $q$ per qualche $m$}].
\]
Allora $\mathbb{F} | \mathbb{Q}$ non e' finita perche' ci sono elementi di grado arbitrariamente alto in $\mathbb{F}$.

D'altra parte prendendo $\alpha = \sqrt{q}$ si ha che $\mathbb{F}$ non puo' contenere un sacco di quei $\beta$ un po' come nel caso del post precedente con $\sqrt{2}$. A occhio direi che $\mathbb{L} | \mathbb{F}$ e' infinita, anche se non ho una dimostrazione rigorosa.

[j18eos]

...scegliere un'estensione (algebrica) \(\displaystyle\mathbb{L}\) di \(\displaystyle\mathbb{Q}\) con grado di estensione \(\displaystyle p\) numero primo.

Ho implicitamente considerato un'estensione di grado finito (per cui algebrica) \(\displaystyle\mathbb{L}\) di \(\displaystyle\mathbb{Q}\)...

[Pappappero]

Se il grado di $\mathbb{L} | \mathbb{Q}$ e' primo c'e' poco da dire. $\mathbb{F}$ e' sempre uguale a $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{L} = \mathbb{Q}[\alpha]$.

Forse la tua frase va letta: "basta scegliere un'estensione algebrica $\mathbb{L}|\mathbb{Q}$ di grado NON primo, per avere casi in cui $\mathbb{F}[\alpha] \ne \mathbb{L}$ "? Non sono sicuro che questo sia vero pero'.

[j18eos]

Se il grado di $ \mathbb{L} | \mathbb{Q} $ e' primo c'e' poco da dire. $ \mathbb{F} $ e' sempre uguale a $ \mathbb{Q} $ e $ \mathbb{L} = \mathbb{Q}[\alpha] $...

Esattamente ciò che volevo affermare, era solo per evidenziare che si può avere \(\displaystyle\mathbb{F}=\mathbb{Q}\); volendo, è il passo zero per poter iniziare a dimostrare questo

...Indichiamo con $ \mathbb{Q} $ il campo dei numeri razionali, e con $ \bar{\mathbb{Q}} $ la sua chiusura algebrica. Sia $ \mathbb{L} $ un campo intermedio con \( \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{L} \subseteq \bar{\mathbb{Q}} \) e sia \( \alpha \in \mathbb{L} - \mathbb{Q} \).

Esiste un sottocampo \( \mathbb{F} \subseteq \mathbb{L} \) tale che \( \alpha \notin \mathbb{F} \) e $ \mathbb{F} $ e' massimale tra tutti i sottocampi di $ \mathbb{L} $ che non contengono $ \alpha $...

mediante il lemma di Zorn.

Invece, riguardo a questa domanda

...Non riesco neanche a dimostrare facilmente, anche se a occhio dovrebbe essere vero, che in generale l'estensione $ \mathbb{L} | \mathbb{F} $ sia finita. E' vero?...

pensavo che qualche informazione possa essere fornita dal modulo delle \(\displaystyle1\)-forme differenziali relative di Kähler \(\displaystyle\mathbb{\Omega}^1_{\mathbb{L}/\mathbb{F}}\) dell'estensione \(\displaystyle\mathbb{L}\) di \(\displaystyle\mathbb{F}\) (click)¹; ma a causa della caratteristica \(\displaystyle0\): tutte le estensioni in gioco sono separabili, e per ciò:
\[
\mathbb{\Omega}^1_{\mathbb{L}/\mathbb{F}}=\{0\}
\]
ovvero nulla!

---

Note

1. Un argomento spiegato male ovunque! ↑

[Pappappero]

...
Invece, riguardo a questa domanda

...Non riesco neanche a dimostrare facilmente, anche se a occhio dovrebbe essere vero, che in generale l'estensione $ \mathbb{L} | \mathbb{F} $ sia finita. E' vero?...

pensavo che qualche informazione possa essere fornita dal modulo delle \(\displaystyle1\)-forme differenziali relative di Kähler \(\displaystyle\mathbb{\Omega}^1_{\mathbb{L}/\mathbb{F}}\) dell'estensione \(\displaystyle\mathbb{L}\) di \(\displaystyle\mathbb{F}\) (click); ma a causa della caratteristica \(\displaystyle0\): tutte le estensioni in gioco sono separabili, e per ciò:
\[
\mathbb{\Omega}^1_{\mathbb{L}/\mathbb{F}}=\{0\}
\]
ovvero nulla!

Provero' a dare un'occhiata. Comunque l'affermazione che avevo fatto nel primo post, penso sia falsa. Ho postato un (possibile) controesempio nel mio secondo post in questo thread (che in un certo senso generalizza quello fatto nel primo post con $\sqrt{2}$).

Ci ripensero' tra qualche giorno.

[Martino]

Considera il caso in cui $L$ è proprio la chiusura algebrica di $\mathbb{Q}$. In questo caso $L$ è anche la chiusura algebrica di $F$ e quindi se $L//F$ è un'estensione finita ha grado 1 oppure 2 (teorema di Artin-Schreier, qui, pagina 2).

Penso che anche questo(1) e questo(2) possano essere interessanti.