Potenza di un segnale sinusoidale

[Nicholas_ASR]

Ciao a tutti non sono sicuro della sezione... comunque volevo chiedervi se potevate aiutarmi nello svolgere questo esercizio:
Il professore ci ha dettato questa funzione e ci ha detto di calcolarne la potenza
$x(t)=Acos(2pif_0t+φ)$
Ho provato ad impostare il limite dell'integrale per calcolare la potenza ma non riesco a fare nulla .-.

[mazzarri]

ciao Nicholas!

Forse come argomento potrebbe essere più adatta la sezione Fisica oppure Ingegneria... si tratta di Teoria dei Segnali

Leggo su Internet, non lo sapevo, che la potenza di un segnale $x(t)$ dovrebbe essere definita da

$P = lim_(T->infty) 1/(2T) int_(-T)^(T) (x(t))^2 dt$

è corretto?

Per continuare consideriamo $2 pi f = omega$ con $f=1/T$ solo per semplicità di scrittura

Se il tuo segnale è

$x(t)= A cos (omega t + phi)$

la sua potenza sarà

$P=lim_(T->infty) 1/(2T) A^2 int_(-T)^(T) cos^2 (omega t +phi) dt$

adesso utilizzi la sostituzione

$cos^2 z = (1+cos(2z))/2$

e hai subito

$P= A^2/2 + lim_(T->infty) A^2/(4T) int_(-T)^(T) cos ( 2 omega t + 2 phi) dt$

e dopo qualche passaggio che ti invito a fare e a scrivere qui... il secondo integrale si annulla e ti resta

$P= A^2/2$

ciao!

[Nicholas_ASR]

Scusa in verità gli estremi di integrazione sono $T/2$ e $-T/2$ mentre al denominatore compare solo T non 2 T... comunque credo vada bene lo stesso il tuo integrale tanto è periodico e basta moltiplicare per 2 ed ottenere il tuo giusto? Ma non riesco a risolvere l'integrale.... mi viene una cosa del tipo $sen(2wt+2φ)$ che devo integrare tra -T e T ma non riesco a capire come si annulli...

[mazzarri]

ciao Nicholas

Io ho scritto l'integrale così perchè ho cercato in rete qualcosa sulla "potenza di un segnale", argomento a me finora sconosciuto, e ho trovato questa definizione. Lo confesso, ero ignorante.
Oggi ho ri-cercato e altri siti riportano la definizione da te imparata.
Credo siano equivalenti ma le considerazioni da me scritte sopra e qui le puoi applicare pari pari alla tua definizione, otterrai lo stesso risultato

Vediamo insieme l'integrale

$lim_(T->infty) A^2/(4T) int_(-T)^T cos (2 omega t + 2 phi) dt =$

$=lim_(T->infty) A^2/(8omegaT) |sin(2 omega t+2 phi)|_(-T)^T =$

formule di addizione

$=lim_(T->infty) A^2/(8omegaT) | sin 2 omega t cos 2 phi + cos 2 omega t sin 2phi|_(-T)^T =$

adesso ricorda che $omega=2 pi f = (2 pi)/T$

$=lim_(T->infty) A^2/(8omegaT) | sin ((4pi)/T t) cos 2 phi + cos ((4pi)/T t) sin 2phi|_(-T)^T =$

$=lim_(T->infty) A^2/(8omegaT) ( sin 4pi cos 2 phi + cos 4pi sin 2phi - sin (-4pi)cos 2 phi - cos (-4pi) sin2phi) =$

$=lim_(T->infty) A^2/(8omegaT) (0 + sin 2 phi - 0 - sin 2 phi) =$

$=0$

and we have done

tutto chiaro??

ciao!

[Nicholas_ASR]

Stavo pensando di gestirlo anche graficamente quando avevo ancora l'integrale essendo una funzione dispari potevo dire che l'area negativa si "eliminava" con quella positiva? Comunque grazie mille della tua spiegazione.. ora sto iniziando a fare questa materia teoria dei segnali e ci sono anche energie potenze impulsi un sacco di cose strane di cui non sapevo l'esistenza

[Nicholas_ASR]

Scusa riguardando bene non capisco perché quando risolvi l'integrale al denominatore non hai più 4T ma 8wT

[mazzarri]

Perchè l'integrale fondamentale di riferimento è

$int cos(f(x)) f'(x) dx = sin f(x) $

Quindi

$int cos (2 omega t + 2 phi) dt =$

$=1/(2omega) int (2 omega) cos (2 omega t + 2 phi) dt =$

$=1/(2 omega) sin (2 omega t + 2 phi)$