Semplificazione denominatore equazioni

[davicos]

Salve a tutti,
volevo chiedere il perchè (in senso profondo) una volta fatto il m. c. m. I denominatori spariscono.
Ad esempio: $ 6/2 = 12/6 $ faccio il m. c. m. e mi viene fuori $ 18/6 = 12/6 $
Lasciamo perdere per il momento l'uguaglianza falsa. Facciamo che togliamo I denominatori ed ho $18 = 12$.
ma $18$ non è uguale a $6/2$. So che il denominatore lo si può togliere perchè moltiplicando e dividendo per una stessa quantità l'equazione non cambia. So che mi sto perdendo qualcosa e forse ho esteso questa regola un pò troppo al limite.
Gradirei che qualcuno mi facesse un pò di chiarezza. Grazie!!

[mazzarri]

Vedila cosi... porti al primo membro

$18/6-12/6=0$

$(18-12)/6=0$

$18-12=0$

Perche se una frazione vale zero e il suo numeratore a essere nullo

[davicos]

No, non ho capito... aldilà dei calcoli, perchè il denominaore lo si toglie? L'equazione finale non è uguale a quella originaria. Sarebbe come cambiare il senso dell'equazione, quindi sto cercando di trovare un senso, una correlazione all'equazione di partenza con quella finale.. non capisco..

[andar9896]

... ma $18$ non è uguale a $6/2$.

Certo che no, ma è uguale a $6/2$ moltiplicato per il $6$ che hai eliminato! In un'equazione puoi moltiplicare/dividere per uno stesso numero entrambi i membri ottenendo un'equazione equivalente a quella iniziale, ovvero con le stesse soluzioni. Così ad esempio se devo risolvere $
(x-1)/3=1/3$
potrò moltiplicare per $3$ ottenendo $x-1=1$, ma è ovvio poi che $x-1 != (x-1)/3$ ! Spero di aver ben compreso il tuo dubbio

[davicos]

Ok perfetto, ma poi così non si arriva ad un'altra equazione?? Voglio dire, quando risolvo, tornando indietro mi deve ridare quella di partenza e così invece non è.... cioè se metto un qualsiasi numero al posto della $x$ all'inizio mi darà un risultato, mentre nell'equazione finale me ne darà un altro...

[andar9896]

Ovvio che te ne darà un altro, il valore comune è solo la soluzionde... per esempio:
$2x^2+8x+8=0$ e $x^2+4x+4=0$ sono evidentemente due equazioni diverse: se faccio $f(1)$ ottengo $18=0$ nella prima e $9=0$ nella seconda. Invece, sostituendo un valore particolare ($-2$) ottengo $0=0$ in entrambe. Questo vuol dire che risolvere una anziché l'altra è equivalente! Ragionamento simile per le equazioni fratte.

[davicos]

Ahhhhhhhhh ok ok.. Non si finisce mai di imparare. Per 26 anni mai saputo il perchè di ciò... ed in 5 minuti è diventato tutto chiaro. E' per questo che tale procedimento è adoperato solo nelle equazioni? perchè si ha una uguaglianza? Grazie mille!!

[andar9896]

Di nulla!

In realtà ciò si applica anche alle disequazioni (a patto di quantità positive) o nel momento in cui porti qualche costante fuori nelle derivate, limiti, integrali ecc.