Alla fine ne resterà solo 1

[sprmnt21]

Provare che per qualsiasi numero intero esiste una potenza del 10 congrua a 1 modulo il numero dato.
In formule

$\forall n \in \NN$ con $(n, 10)=1$, $\exists k in \NN : 10^k \equiv 1 \mod n$

PS
E' un risultato che ho dovuto congetturare e provare per risolvere un problema per l'esame di ammissione alla SNS di qualche anno fa (1988-89, mi pare), che penso di proporre in questa sezione del forum in seguito.
Probabilmente è diretta conseguenza di qualche teorema, ma per me che non sono esperto di aritmetica modulare non è stato immediato provare la tesi.

[dan95]

Beh in realtà non vale per ogni $n$, infatti se $(10,n)>1$ la tesi va a farsi benedire...

[sprmnt21]

Beh in realtà non vale per ogni $n$, infatti se $(10,n)>1$ la tesi va a farsi benedire...

Assolutamente sì. Ho dimenticato di premettere che il numero non deve avere né 2 né 5 come fattori (come richiesto nel problema originale, in effetti).
Correggo il testo.

[dan95]

Perfetto allora è semplicemente una conseguenza del teorema di Eulero basta scegliere $k=\varphi(n)$

[sprmnt21]

Perfetto allora è semplicemente una conseguenza del teorema di Eulero basta scegliere $k=\varphi(n)$

ho fatto una faticaccia, ma forse è servita ad imparare qualcosa.
posto comunque le mie riflessioni sull'argomento.


Fatto 1) Se $x\equiv 1 mod p$ allora $x^p\equiv 1 mod p^2$.
Questo deriva dall'eguaglianza $x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1)$ dove i due fattori del lato destro sono entrambi multipli di p: il primo per ipotesi il secondo essendo la somma di p addendi tutti congrui a 1 modulo p.
Pertanto vale , in generale, se $x\equiv 1 mod p$ allora $x^{p^{(k-1)}}\equiv 1 mod p^k$.

Fatto 2) se $x\equiv 1 mod p$ e $x\equiv 1 mod q$ con $(p,q)=1$, allora $x-1=hp=kq=h’pq$.
Quindi $x\equiv 1 mod pq$

Fatto 3) per il teorema di Fermat , $10^{p-1} \equiv 1 mod p$ con p primo tale che $(p,n)=1$

Utilizzando questi fatti e il fatto che ogni numero n si può scomporre in fattori primi nel seguente modo: $n=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_n^{\alpha_n}$, si ha che

Posto $k=10^{\prod_{i=1}^n (p_i-1)p^(a_1-1)}$, allora $10^k \equiv 1 mod n$

[dan95]

È $k=\prod_{i=1}^{n} (p_i-1)p_i^{\alpha_i-1}$

[sprmnt21]

È $k=\prod_{i=1}^{n} (p_i-1)p_i^{\alpha_i-1}$

si certo, grazie.
Ne approfitto per correggere anche un altro errore.

Nel fatto 3) dove ho scritto

$10^(p-1)≡1mod p$ con p primo tale che $(p,n)=1$

si intende

$10^(p−1)≡1mod p$ con p primo tale che $(p,10)=1$