Ker di un Applicazioni lineari

[pasqualinux]

Salve non mi è ben chiaro perché , il ker di un' applicazione lineare non può mai essere vuoto ma deve contenere sempre almeno lo 0.

[Pappappero]

Prova a scrivere la definizione di $ker$ e prova a pensare quale e' l'immagine del vettore $0$ attraverso un'applicazione lineare.

[sulne]

queste cose le ho fatte due anni fa quindi non mi ricordo tutto nei dettagli, ma provo a buttare giù un'idea.

per un'applicazione lineare si ha $f(av)=af(v)$ dove a scalare e v vettore,
supponiamo che esista un vettore v che attraverso f viene mandato in zero (è la definizione di nucleo), osserviamo che se poniamo $v=aw$ si ha $f(v)=0=af(w)$ allora $f(v)=0f(w)=f(0w)=f(0)$ ossia $v=0$ cioè l'unico vettore che viene mandato in 0 è zero

[Pappappero]

Non ho capito cosa stai cercando di fare.

Proprio perche' $f$ e' lineare si ha immediatamente che $f(0) = 0$, dove lo $0$ a sinistra e' lo zero del dominio di $f$ mentre lo $0$ e' lo zero del codominio.

[sulne]

cercavo di mostrargli che l'unico vettore che viene mandato in zero da un'applicazione lineare è 0. forse riesce meglio così: $f(v)=0=0f(v)=f(0v)=f(0)$ cioè $v=0$

[Pappappero]

Non e' vero che l'unico vettore che viene mandato in $\mathbf{0}$ da un'applicazione lineare $\mathbf{0}$.

Quello che vuoi dimostrare e' semplicemente che $\mathbf{0}$ viene mandato in $\mathbf{0}$, cioe' che $f(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$. Per farlo, io procederei cosi'. Abbiamo $f : V \to W$ e denotiamo con $\mathbf{0}_V$ lo zero dello spazio vettoriale $V$, con $\mathbf{0}_W$ lo zero dello spazio vettoriale $W$, e con $0$ lo zero del campo: Vogliamo dimostrare che $f(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W.

\[
f(\mathbf{0}_V) = f(0 \cdot \mathbf{0}_V) = 0 \cdot f(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W.
\]

Prova a dire che proprieta' dello spazio vettoriale o di $f$ si usa ad ogni passaggio.

[sulne]

aah voi matematici si hai ragione ho messo un "unico" di troppo non so perchè ma ero convinto che f fosse iniettiva, nel mio libro la proposizione è: lineare+iniettiva sse ker=0 . Comunque dalla tua dimostrazione discende che lo zero c'è sempre e ciò discende dalla linearità