Connessi in R^2

[Iris94]

Salve a tutti,
Come da titolo vorrei dei chiarimenti riguardo gli insiemi connessi ; in quanto ad esempio quando il prof dice che in una tale funzione $f(x,y)$ l'insieme di definizione è diviso in quattro connessi allora afferma che la funzione è costante in ognuno dei 4...ora vorrei sapere come mai la funzione è costante nei connessi ? lo dice un teorema ?

Inoltre in un esercizio :
$arctg(x/y)+arctg(y/x)$=$pi/2$
il prof ha detto che il dominio è diviso in 4 connessi togliendo le rette $y=0$ e $x=0$ e ha detto che in ognuno dei 4 connessi la funzione è costante

Vorrei sapere come mai è costante e come fa a dire che sono 4 connessi quando una proposizione dice che un insieme è connesso se e solo se è chiuso e limitato, ma a me non sembra che i quattro quadranti senza i bordi presi singolarmente siano chiusi e limitati

Ringrazio a priori chiunque mi chiarisca le idee

[Emar]

un insieme è connesso se e solo se è chiuso e limitato

Quest'affermazione è falsa. Stai confondendo i concetti di connessione e compattezza! Riguardati un po' le definizioni (anche su Wikipedia)

[Iris94]

Vero, innanzittutto ti ringrazio per avermi fatto notare quel errore
ho riguardato gli appunti e ho notato di aver erroneamente scritto connesso anziché compatto...

Invece permane un' ulteriore dubbio come mai nei connessi la funzione è costante ?

[Emar]

Di quale funzione stiamo parlando? Tu lì hai scritto un'equazione, come la definisci la funzione?
Puoi riportare il testo esatto dell'esercizio?

[Iris94]

Il testo dell'esercizio diceva provare che :
$arctg(x/y)+arctg(y/x)$=$pi/2$

e si perveniva al fatto che il dominio tutto non è un connesso però vi sono presenti 4 connessi quindi poichè la funzione è costante nei connessi possiamo affermare che nel primo e nel terzo quadrante vale $pi/2$ mentre nel secondo e nel quarto vale $-pi/2$

il mio dubbio consiste nel sapere come fa a dire che nei connessi la funzione è costante ? anche in altri esercizi del genere dove erano presenti dei connessi il prof trovava un valore qualunque all'interno di un connesso e sosteneva che la funzione assumeva sempre lo stesso valore in tutto il connesso