Problemi Normale AA 2003/04 N2

[sprmnt21]

Due punti si muovono su due rette incidenti con egual velocità. Si dimo-stri che esiste un punto del piano individuato dalle due rette che in ogni istante e` equidistante dai due punti.

[orsoulx]

Mi stupisce che questo problema non trovi risposta. Sarà perché ha una glassa di fisica?

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Esisterà sicuramente uno ed un solo istante in cui i due punti sono equidistanti dall'intersezione (I) delle due rette (occorre risolvere un'equazione di primo grado con valori assoluti). Le perpendicolari a ciascuna retta per il punto che che vi appartiene si intersecano nel punto cercato. Per dimostrarlo basta la congruenza di due triangoli rettangoli.

Ciao
B.

[sprmnt21]

Mi stupisce che questo problema non trovi risposta. Sarà perché ha una glassa di fisica?

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Esisterà sicuramente uno ed un solo istante in cui i due punti sono equidistanti dall'intersezione (I) delle due rette (occorre risolvere un'equazione di primo grado con valori assoluti). Le perpendicolari a ciascuna retta per il punto che che vi appartiene si intersecano nel punto cercato. Per dimostrarlo basta la congruenza di due triangoli rettangoli.

Ciao
B.

Resta da dimostrare che anche negli altri istanti i due punti sono alla stessa distanza dal punto così determinato.

PS
la configurazione gode di un'altra proprietà molto particolare dal punto di vista "ottico-fisico". Quale può essere?

[orsoulx]

Resta da dimostrare che anche negli altri istanti i due punti sono alla stessa distanza dal punto così determinato.

La dimostrazione che si riduce ad osservare la congruenza di due triangoli rettangoli è proprio quella.

la configurazione gode di un'altra proprietà molto particolare dal punto di vista "ottico-fisico". Quale può essere?

Quale configurazione? Se ti riferisci ai punti equidistanti dall'intersezione è tanto banale da non meritare la citazione. (affermazione errata: solo in un caso particolare si ottiene la configurazione cui mi riferivo) Se, invece, ti riferisci ad un istante qualsivoglia. Boh?

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I punti sono ciclici, il punto fisso, ovviamente, appartiene all'asse del segmento congiungente i due mobili ed allora un raggio luminoso..., ma non vedo proprietà dell'ottica che coinvolgano i quattro punti.

Il regolamento del forum chiede di non citare interamente un post precedente, se poi è proprio l'ultimo...
Ciao
B.

[sprmnt21]

Con riferimento alla figura allegata, si può provare che, al variare del segmento EF con E su AB ed F su AC tali che BE=CF, gli estremi E ed F oltre ad essere equidistanti dal punto fisso D¹, "appaiono" equidistanti fra loro.
Dal punto di vista dell'osservatore il movimento dei due punti E ed F è equivalente a quello di K e J che pecorrono rigidamente (cioé |JK|=cost.) un arco della circonferenza di centro D passante per A.

---

Note

1. D è l'intersezione tra la circonferenza per A, B, C e la bisettrice esterna dellangolo <BAC ↑

[orsoulx]

@sprmn21:
non intendevo più partecipare alla discussione dei problemi che posti, perché non ne capisco lo scopo. Visto, però che su questo v'è stata solo un colloquio a due, cerchiamo di capirci.
Una dimostrazione compiuta non si è ancora vista, completerò la mia, parziale, che avevo dato.
Un mese per una risposta mi pare un po' eccessivo.
Nella tua non c'è nulla di 'ottica geometrica'. Che la rotazione di un triangolo attorno ad un suo vertice produca angoli congruenti fra lati corrispondenti è geometria; che angoli al centro congruenti comportino corde e angoli sottesi, a loro volta congruenti, su qualunque circonferenza avente per centro il centro di rotazione (non solo quella passante per A) è geometria.
Nella nota (1) non è sempre vero che la bisettrice da considerare sia quella esterna all'angolo.

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Se i due punti si muovono di moto rettilineo uniforme, considerando due sistemi di ascisse con origine nel punto A di intersezione delle due rette, orientati nello stesso verso delle velocità dei due punti, che si trovano nell'istante zero in B e C, le equazioni dei due moti saranno $ x(t)=x_B+vt; x(t)=x_C+vt $. Esiste allora un solo istante in cui i due punti saranno equidistanti da A: $ t=-(x_B+x_C)/(2v) $. Siano H e K (H sulla retta su cui si trova B e K su quella di C) le posizioni dei punti in quell'istante. Se H e K coincidono con A i punti saranno sempre equidistanti da A, altrimenti condotte da H e K le perpendicolari alle rette cui appartengono, queste si incontreranno in un punto P appartenente alla bisettrice interna dell'angolo AHK (i punti AHKP appartengono alla stessa circonferenza e PH=PK). In un istante t qualsivoglia i punti B(t) e C(t) saranno sempre equidistanti da P. Per dimostrarlo basta osservare che i due triangoli PHB(t) e PKC(t) sono rettangoli in H e K e hanno, per essere PH=PK e per l'uguaglianza delle velocità, cateti congruenti.

Ciao
B.

[sprmnt21]

@sprmn21:
non intendevo più partecipare alla discussione dei problemi che posti, perché non ne capisco lo scopo.

non mi è chiaro cosa non ti sia sia chiaro.
Non è questa la sezione adatta per il tipo di problemi che posto? mi sembrava che tra i tanti problemi trattati ci fosse una nutrita lista di problemi SNS.
erano anni che non mi ciemntavo più con questo tipo di problemi e negli ultimi mesi mi è ripartita la vena matematica.

Ho trovato sul sito dell'SNS la lista dei vecchi problemi.
Cerco su queto sito http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f=23&t=13244 i problemi che non sono sttai trattati e, se riesco a risolverli, li propongo qui con lo scopo di confrontare le mie soluzioni con quelle di altri.
Oltre a questi ho proposto altri problemi che ho incontrato in forum che frequentavo alcuni anni fa.

Visto, però che su questo v'è stata solo un colloquio a due, cerchiamo di capirci.
Una dimostrazione compiuta non si è ancora vista, completerò la mia, parziale, che avevo dato.

se secondo qualcuno serve una soluzione dettagliata sono disponibile a fornirla, ma non mi sembrava.

Un mese per una risposta mi pare un po' eccessivo.

pensavo non ci fosse più interesse per questo problema e ho pensato di "farla finita" postando la mia idea. Se servono dettagli, posso giustificare ogni singola affermazione.

Nella tua non c'è nulla di 'ottica geometrica'. Che la rotazione di un triangolo attorno ad un suo vertice produca angoli congruenti fra lati corrispondenti è geometria; che angoli al centro congruenti comportino corde e angoli sottesi, a loro volta congruenti, su qualunque circonferenza avente per centro il centro di rotazione (non solo quella passante per A) è geometria.

l'affermazione tra " " fatta non si riferisce all'ovvio fatto che tu riporti ma al fatto che questo è una conseguenza della configurazione data. La proprietà geometrica è che il rapporto tra la distanza dei corridori e la distanza del punto medio dall'osservatore fisso è costante e questo si potrebbe interpetare "fisicamente" dicendo che i due corridori "appaiono" sempre alla stessa distanza tra di loro.

Nella nota (1) non è sempre vero che la bisettrice da considerare sia quella esterna all'angolo.

non riesco a trovare un controesempio. puoi spiegare più in dettaglio l'osservazione?

[orsoulx]

Guarda che non ho alcuna intenzione di bisticciare.
Puoi postare tutti i problemi che vuoi, quando vuoi e come vuoi.
Non mi era chiaro se i problemi che postavi li avessi già risolti, se li avessi risolti, ma ti fossero rimasti dei dubbi, se non vedevi il modo per risolverli. Nell'ultimo caso proverei a risolverli per, nel caso ci riuscissi, darti qualche suggerimento, nel secondo se posti la soluzione potrei vedere se vi scopro degli errori o dei possibili miglioramenti, nel primo leggerei, al massimo, il testo e, solo nel caso mi interesse, proverei a risolverlo: i problemi della SNS so dove li posso trovare da solo.
Il mio intervento del 13 ottobre conteneva una domanda, se a te pare educato rispondere dopo un mese, vuol dire che abbiamo diversi concetti di educazione.
Anche cosa sia l'ottica geometrica non concordiamo, poco male: ognuno si tiene le sue idee.
Quanto alla nota (1) basterebbe leggere la soluzione sotto spoiler per trovare il controesempio che mi chiedi: la bisettrice 'buona' è quella interna all'angolo formato dalle semirette in cui stanno i punti quando sono equidistanti dall'intersezione delle rette.
Ciao
B.

[sprmnt21]

Non mi era chiaro se i problemi che postavi li avessi già risolti, se li avessi risolti, ma ti fossero rimasti dei dubbi, se non vedevi il modo per risolverli. Nell'ultimo caso proverei a risolverli per, nel caso ci riuscissi, darti qualche suggerimento, nel secondo se posti la soluzione potrei vedere se vi scopro degli errori o dei possibili miglioramenti, nel primo leggerei, al massimo, il testo e, solo nel caso mi interesse, proverei a risolverlo: i problemi della SNS so dove li posso trovare da solo.

Di tutti i problemi che ho postato finora e in generale che posterò in seguito ho (salva indicazione esplicita contraria) una o più soluzioni (in qualche caso anche generalizzazioni e/o osservazioni aggiuntive).

Di qualche altro problema (sempre SNS) di cui ho trovato pubblicata una soluzione anche sul sito della SNS ho proposto delle soluzioni alternative:
viewtopic.php?f=47&t=151622
viewtopic.php?f=47&t=151260&start=10


[code]
Il mio intervento del 13 ottobre conteneva una domanda, se a te pare educato rispondere dopo un mese, vuol dire che abbiamo diversi concetti di educazione.
[code]

Se avessi capito che c'era una domanda (anche implicita) a cui rispondere l'avrei fatto subito. Mi spiace per il malinteso.

Sul momento, avevo visto i punti interrogativi, ma mi erano sembrate più che altro delle domande retoriche. Tanto più che tu avevi fatto osservazioni sulla ovvietà delle tesi da provare. Al primo intervento ho risposto facendo un'osservazione di merito sulla tua affermazione. Per il resto mi sembrava che tu avessi fatto delle precisazioni che mi sembravano in linea con la mia soluzione (che, se a qualcuno interessa, posso postare completa di tutti i dettagli). Non sono più tornato sul problema e solo ultimamente ho pensato che era il caso di completare il mio contributo esplicitando l'idea della proprietà "ottica" a cui alludevo. Ho messo tra "" il termine perché più che all'ottica geometrica pensavo ad "un'illusione ottica".

Riporto per chiarezza il concetto in termini geometrici.
Tesi: al variare, con le ipotesi date, di E ed F sulle rette date il rapporto FE/DG= cost. ("fisicamente" questo si può interpretare come se D "vedesse" FE sempre sotto lo stesso angolo e quindi come se F ed E siano sempre alla stessa distanza tra di loro). G è il punto medio di EF e D è il punto fisso richiesto dal problema originario.

Quanto alla nota (1) basterebbe leggere la soluzione sotto spoiler per trovare il controesempio che mi chiedi: la bisettrice 'buona' è quella interna all'angolo formato dalle semirette in cui stanno i punti quando sono equidistanti dall'intersezione delle rette.
Ciao
B.

questa osservazione mi fa ricredere sul convincimento di essere in linea con l'interpretazione del problema.

Mi leggero con attenzione la tiua soluzione e risponderò molto prima di un mese.

[sprmnt21]

Quanto alla nota (1) basterebbe leggere la soluzione sotto spoiler per trovare il controesempio che mi chiedi: la bisettrice 'buona' è quella interna all'angolo formato dalle semirette in cui stanno i punti quando sono equidistanti dall'intersezione delle rette.
Ciao
B.

Allora. ho letto la tua soluzione: è chiara e, per quanto vale il mio giudizio, corretta e completa.
Sulla questione della bisettrice, credo che tu abbia frainteso la costruzione a cui faccio riferimento.
Tieni conto che l'angolo rispetto a cui riferisco la bisettrice esterna è l'angolo <BAC.

Questa è la nota incriminata:(D è l'intersezione tra la circonferenza per A, B, C e la bisettrice esterna dellangolo <BAC ↑).