Principio di induzione

[Shiony]

Nuovamente salve a tutti,
sto svolgendo questo tipo di esercizio:

Dimostrare che per ogni intero n ≥ 0 vale: $ 1+5+5^2+5^3+...+5^n=(5^n+1 -1) /4 $

Dopo aver letto molto riguardante il principio di induzione, non riesco a svolgere l'esercizio.
Ho fatto il passo base, ma dopo sono totalmente bloccato, non riuscendo a capire come svolgerlo e quindi andare avanti

[vict85]

Immagino tu intendessi: \(\displaystyle \frac{5^{n+1}-1}{4} \). La dimostrazione è immagino simile a \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} 2^{k} = 2^{n+1}-1 \).

Quello che devi fare è:

1. Caso generale: ovvero verificare che \(\displaystyle 1 = \frac{5^{n+1}-1}{4} \).
2. Passo induttivo: dimostrare che se si ha \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N} 5^{k} = \frac{5^{N+1}-1}{4} \) per un qualche \(\displaystyle N \) fissato, allora \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N+1} 5^{k} = \frac{5^{N+2}-1}{4} \).
3. Conclusione: unire i due passi precedenti per ricavare il per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N} \).

Per il passo due basta usare il fatto che \(\displaystyle \sum_{k=0}^{N+1} 5^{k} = 5^{N+1} + \sum_{k=0}^{N} 5^{k} \).

EDIT: correzione dell'errore

[Shiony]

Ok fino a qui c'ero arrivato, il mio problema è proprio la dimostrazione

P.S. spero che scrivendo $2^k$ tu volessi scrivere $5^k$ altrimenti sono confuso :/

[vict85]

Ok fino a qui c'ero arrivato, il mio problema è proprio la dimostrazione

P.S. spero che scrivendo $2^k$ tu volessi scrivere $5^k$ altrimenti sono confuso :/

Si scusa, ho fatto copia incolla.

Ho praticamente scritto già tutto, manca un solo passaggio.

[Shiony]

Stavo per entrare in depressione dopo aver visto quel $2^k$ xD, comunque come ho detto sopra il problema lo trovo nel dimostrare il passo induttivo

[giorgio.c314]

$\sum_{k=0}^N 5^k=(5^(N+1)-1)/4$
$5^(N+1)+\sum_{k=0}^N 5^k=(5^(N+1)-1)/4+5^(N+1)$
$\sum_{k=0}^(N+1) 5^k=(5^(N+1)-1+4*5^(N+1))/4=(5*5^(N+1)-1)/4=(5^(N+2)-1)/4$

[Shiony]

Protesti chiarirmi l'ultimo passaggio, cioè come : $ (5^(N+1) - 1 + 4 * 5^(N+1))/4 $ diventa $ (5 * 5^(N+1) - 1)/4 $ ?

[giorgio.c314]

...sono stato di poche parole perché mi si è interrotto il collegamento x guasto tecnico

nell'ultimo passaggio ho semplicemente messo in evidenza $5^(N+1)$ come fosse 4a+1a=5a, visto che nel nostro caso $a=5^(N+1)$ si arriva ad $5^(N+2)$

...scritto sembra complicato

[Shiony]

Tranquillo ora che me l'hai spiegato non è per niente complicato. Grazie per l'aiuto, adesso sto svolgendo un altro esercizio dello stesso tipo, vediamo se riesco a farlo da solo

[Shiony]

Sto svolgendo: $n^3 - n + 6 $ deve essere divisibile per 3, ho fatto il passo base, adesso nel passo induttivo sono arrivato a :
$ n^3 + 3n^2 + 2n + 6 $, perchè dopo aver sostituito n con n+1 ho svolto l'elevazione al cubo, ora il meccanismo che voglio capire è, come fare una volta arrivati a questo punto a dire che l'ipotesi è giusta


Ho formulato un ipotesi, dimmi se è giusta, poichè abbiamo dimostrato che $n^3 - n + 6 $ allora $ n^3 + 2n + 6 $ è divisibile perchè è come l'equazione iniziale solo che al posto di $-n$ c'è $2n$ che comunque dovrebbe essere ininfluente poichè è il doppio di una qualsiasi n, e la parte mancante $3n^2$ poichè essendo una qualunque n elevata al quadrato, essendo che viene moltiplicata per 3, sarà sempre divisibile per 3.

Ditemi se quello che ho ipotizzato è corretto o solo una grande stupidaggine