Complemento Ortogonale Della Somma Di Spazi Vettoriali

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Salve a tutti, su Wikipedia (Sottospazi Ortogonali) ho trovato la seguente relazione:
Dato uno spazio vettoriale $ V $, per ogni coppia di sottospazi $ U $ e $ W $ di $ V $ si ha $ (U+W)^_|_ =U^_|_ nn W^_|_ $
non viene citata alcuna fonte e non sono riuscito a trovarla sui testi che posseggo.
Siccome è utile per risolvere un mio problema, qualcuno sa indicarmi, per favore, dove trovarla o dirmi se è valida nel caso che $ V $ è uno spazio di Hilbert infinito dimensionale.

Seconda e ultima domanda:
sia $ V $ uno spazio di Hilbert infinito dimensionale e $ U $ e $ W $ due suoi sottospazi
la relazione $ (Unn W)^_|_ =U^_|_ +W^_|_ $ è vera?

Vi ringrazio, qualsiasi suggerimento sarà sempre ben accetto.

[Camillo]

Sposto in Geometria

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ok, grazie

[elvis]

L'identità \((U+W)^\perp = U^\perp \cap V^\perp\) mi sembra elementare. Per quanto riguarda l'altra, in spazi di dimensione infinita dovrebbe valere soltanto l'inclusione \[(U \cap V)^\perp \supseteq U^\perp + V^\perp\]Un controesempio si ottiene con \(U\) sottospazio denso (non chiuso) e con \(V = (v)\), dove \(0 \neq v \notin U\).
Dimmi se servono chiarimenti.

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Grazie per la risposta, per quanto riguarda il controesempio che hai portato, con $ V = (v) $ intendi un insieme composto da un solo vettore $ v $ ? Se è così non è possibile perché io nelle ipotesi ho posto che entrambi sono spazi vettoriali, altrimenti se non è così se mi puoi spiegare meglio il controesempio.grazie

[elvis]

Con \((v)\) intendo il sottospazio vettoriale (di dimensione \(1\)) generato da \(v\).

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ok, ho capito, grazie.
Scusami se ne approfitto ti pongo una domanda
ci sono delle ulteriori ipotesi per le quali si verifica l'uguaglianza. grazie.

[elvis]

Se \(V\) è uno spazio di Hilbert, l'uguaglianza è verificata (per ogni coppia di sottospazi \(U, V\)) solo se \(V\) ha dimensione finita. Infatti, in dimensione finita, abbiamo \((W^\perp)^\perp = W\) per ogni sottospazio \(W \subseteq V\): applicando questa proprietà alla prima uguaglianza si ottiene la seconda.

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scusami se ne approfitto, il fatto che abbia dimensione finita è una condizione necessaria e sufficiente per cui ogni spazio infinito dimensionale non può sussistere l'uguaglianza?