Sto trovando difficoltà a capire le definizioni e i legami tra funzioni di classe C1, differenziabilità, derivabilità e continuità.
Per essere più precisi, singolarmente penso di averle capite, ma dal famoso schema di implicazioni di questi concetti, c'è qualcosa che non mi torna e credo di non aver capito qualcosa che penso di aver capito. Ho letto varie discussioni ma non c'era esattamente quello che cercavo.
Sul mio quaderno la definizione di classe di una funzione è: Una funzione f definita su un dominio D si dice di classe Cn su D se esistono tutte le derivate parziali di f fino all'ordine n e sono continue. Mia interpretazione: Non è la stessa cosa di dire che ogni punto della funzione in quel dominio ammette le derivate parziali?
Definizione differenziabilità sul quaderno: Una funzione f è differenziabile in Po appartente a D se esistono le derivate parziali f'x e f'y in Po e se il limite blablabla è uguale a 0. Mia interpretazione: Quel vincolo del limite che deve essere uguale a 0 serve a capire se la funzione è ben approssimabile in quel punto da un piano, cioè se esiste un piano tangente, giusto? Ma in ogni caso, il vincolo di quel limite che deve essere uguale a 0 come sarebbe garantito dall'appartenenza alla classe C1 che dalla mia interpretazione probabilmente sbagliata si esaurisce a dire che tutti i punti hanno derivata parziale definita?
Grazie anticipatamente per le eventuali risposte.