Classe C1 e differenziabilità.

[Kastighos]

Sto trovando difficoltà a capire le definizioni e i legami tra funzioni di classe C1, differenziabilità, derivabilità e continuità.
Per essere più precisi, singolarmente penso di averle capite, ma dal famoso schema di implicazioni di questi concetti, c'è qualcosa che non mi torna e credo di non aver capito qualcosa che penso di aver capito. Ho letto varie discussioni ma non c'era esattamente quello che cercavo.
Sul mio quaderno la definizione di classe di una funzione è: Una funzione f definita su un dominio D si dice di classe Cn su D se esistono tutte le derivate parziali di f fino all'ordine n e sono continue. Mia interpretazione: Non è la stessa cosa di dire che ogni punto della funzione in quel dominio ammette le derivate parziali?
Definizione differenziabilità sul quaderno: Una funzione f è differenziabile in Po appartente a D se esistono le derivate parziali f'x e f'y in Po e se il limite blablabla è uguale a 0. Mia interpretazione: Quel vincolo del limite che deve essere uguale a 0 serve a capire se la funzione è ben approssimabile in quel punto da un piano, cioè se esiste un piano tangente, giusto? Ma in ogni caso, il vincolo di quel limite che deve essere uguale a 0 come sarebbe garantito dall'appartenenza alla classe C1 che dalla mia interpretazione probabilmente sbagliata si esaurisce a dire che tutti i punti hanno derivata parziale definita?
Grazie anticipatamente per le eventuali risposte.

[billyballo2123]

Sul mio quaderno la definizione di classe di una funzione è: Una funzione f definita su un dominio D si dice di classe Cn su D se esistono tutte le derivate parziali di f fino all'ordine n e sono continue. Mia interpretazione: Non è la stessa cosa di dire che ogni punto della funzione in quel dominio ammette le derivate parziali?

No
Dire che ammette le derivate parziali è diverso dal dire che ammette le derivate parziali e che queste siano tutte continue.

Quel vincolo del limite che deve essere uguale a 0 serve a capire se la funzione è ben approssimabile in quel punto da un piano, cioè se esiste un piano tangente, giusto?

Si

Ma in ogni caso, il vincolo di quel limite che deve essere uguale a 0 come sarebbe garantito dall'appartenenza alla classe C1 che dalla mia interpretazione probabilmente sbagliata si esaurisce a dire che tutti i punti hanno derivata parziale definita?

C'è un teorema a riguardo. Non vorrei dire cavolate ma credo che si chiami "teorema del differenziale totale"

[Kastighos]

Sul mio quaderno la definizione di classe di una funzione è: Una funzione f definita su un dominio D si dice di classe Cn su D se esistono tutte le derivate parziali di f fino all'ordine n e sono continue. Mia interpretazione: Non è la stessa cosa di dire che ogni punto della funzione in quel dominio ammette le derivate parziali?

No
Dire che ammette le derivate parziali è diverso dal dire che ammette le derivate parziali e che queste siano tutte continue.

Quel vincolo del limite che deve essere uguale a 0 serve a capire se la funzione è ben approssimabile in quel punto da un piano, cioè se esiste un piano tangente, giusto?

Si

Ma in ogni caso, il vincolo di quel limite che deve essere uguale a 0 come sarebbe garantito dall'appartenenza alla classe C1 che dalla mia interpretazione probabilmente sbagliata si esaurisce a dire che tutti i punti hanno derivata parziale definita?

C'è un teorema a riguardo

Ma se una derivata parziale non fosse continua, non sarebbe come dire che esistono dei punti in cui non è definita la derivata parziale presa in considerazione? Io pensavo che la continuità servisse ad evitare questi punti in cui la derivata parziale non esiste.

[billyballo2123]

E' appunto questo ciò che non hai capito. Esistono funzioni derivabili in ogni punto che però non hanno derivata continua.
Un esempio famoso è $f(x)=x^2\sin(1/x)$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ per definizione.
Per $x\ne 0$ la derivata è $2x \sin(1/x)-\cos(1/x)$, mentre la derivata in zero è
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{h^2\sin(1/h)}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin(1/h)=0.
\]
Dunque la funzione è derivabile in ogni punto, ciononostante la derivata non è continua.

[Kastighos]

E' appunto questo ciò che non hai capito. Esistono funzioni derivabili in ogni punto che però non hanno derivata continua.
Un esempio famoso è $f(x)=x^2\sin(1/x)$ per $x\ne 0$ e $f(0)=0$ per definizione.
Per $x\ne 0$ la derivata è $2x \sin(1/x)-\cos(1/x)$, mentre la derivata in zero è
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{h^2\sin(1/h)}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin(1/h)=0.
\]
Dunque la funzione è derivabile in ogni punto, ciononostante la derivata non è continua.

Tecnicamente non fa una piega, ma se la derivata non è continua, e in questo caso vi è una discontinuità "nei pressi" di x=0, non siamo più o meno di fronte a un punto angoloso? Dico più o meno perché in realtà la derivata in 0+ e 0- è uguale quindi tecnicamente non è punto angoloso. E soprattutto come faccio a immaginare una funzione derivabile in ogni punto con derivata non continua? Da qui posso collegarmi al termine di superfici "lisce" per quanto riguarda le funzioni appartenti a c1?

[billyballo2123]

No non è "più o meno un punto angoloso"; in $0$ la funzione è derivabilissima quindi non ha niente a che fare con il punto angoloso. Anziché provare a immaginartela io la farei disegnare a un computer (tipo disegnare con geogebra quella che ti ho suggerito)

Per quanto riguarda le superfici lisce, non so in che senso "vuoi collegarti con le funzioni $C^1$". Posso dirti che (se non sbaglio) per gli analisti una funzione liscia è una funzione differenziabile, cioè approssimabile con un (iper)piano, mentre per i geometri una superficie liscia è una superficie con parametrizzazione $C^{\infty}$ (ripeto: SE NON SBAGLIO).