stavo cercando di risolvere il seguente problema:
Sia $K \subset L$ una estensione di campi. Sia $\alpha \in L$ un elemento algebrico su $K$ di grado dispari. Dimostrare che $K(\alpha^2) = K(\alpha)$.
Sul fatto che $K(\alpha^2) \subset K(\alpha)$ non ci piove perché $\alpha^2 in K(\alpha)$ in quanto $K(\alpha)$ è un campo che contiene $\alpha$.
Passiamo alla seconda inclusione: $K(\alpha) \subset K(\alpha^2)$, ecco qui inizio ad avere problemi: non riesco ad utilizzare l'ipotesi sul grado dispari di $\alpha$! Non mi sembra un problema complesso, quindi sicuramente c'è qualcosa che mi sto perdendo.
Forse sto anche sbagliando strada, alternativamente avevo pensato di considerare $K(\alpha), K(\alpha^2)$ come spazi vettoriali su $K$ e giocare sulle dimensioni(e quindi sui gradi delle estensioni).
Avete qualche suggerimento?
Abbiate pazienza, è la prima volta che mi approccio all'Algebra astratta .
Grazie.