Studio convergenza serie di potenza

[Paolovox]

E' la seguente:

$\sum_{n=1}^(+infty) (e^n/(n^2+n))x^n$

Per prima cosa verifico la condizione necessaria di Cauchy per la convergenza.

$a_n=e^n/(n^2+n)$ ??

Se sì, si controlla che $lim_(n->+oo) e^n/(n^2+n) = 0$

Dato che $text{ord}(e^n)>>text{ord}(n^2)$ il risultato del lmite è $+oo$ quindi già posso dedurre che la serie non converge??

Poi l'esercizio dice di studiarne la convergenza semplice e assoluta.

[quantunquemente]

questo ragionamento potresti farlo se accanto non avessi $x^n$
il raggio di convergenza è dato da $ lim_(n -> +infty) a_n/a_(n+1) $

[Paolovox]

Quindi vale solo per le serie numeriche la condizione necessaria di Cauchy??
Ma il problema mi dice di utilizzare il criterio di convergenza assoluta per prima.

Poi il raggio di convergenza con il criterio del rapporto è dato da:

$lim_(n->+oo) (a_n+1)/a_n = L$

$R=1/L$

[quantunquemente]

devi trovare il raggio di convergenza $r$
a questo punto si può dire che la serie di potenze converge assolutamente per ogni $x$ interno a $[-r,r]$ e non converge per ogni $x$ esterno ad esso
a parte si deve vedere cosa succede per $x=r$ o $x=-r$

[Paolovox]

Quindi ho trovato:

$R=1/e$ e ne deduco che la serie converge quando $|x|<1/e$

E per la convergenza semplice??

Mi sembra che se una serie converge assolutamente, allora essa converge anche semplicemente.

[quantunquemente]

sì,se converge assolutamente converge anche semplicemente
ora devi vedere cosa succede per $x=1/e$ e $x=-1/e$

[Paolovox]

Giusto valuto i bordi:

$x=1/e -> \sum_{n=1}^(+oo) e^n/(n^2+n)1/e^n = \sum_{n=1}^(+oo) 1/(n^2+n) ~ \sum_{n=1}^(+oo) 1/n^2$

$alpha = 2>1$ la serie converge dato che asintoticamente mi riconduco all'armonica.


$x=-1/e -> \sum_{n=1}^(+oo) (-1^n)/(n^2+n) ~ \sum_{n=1}^(+oo) (-1^n)/n^2$ e per Leibnitz converge

Quindi l'intervallo di convergenza della serie è $[-1/e,1/e]$

PS: la tilde non mi esce bene.

[Berationalgetreal]

PS: la tilde non mi esce bene.

Il codice per \( \displaystyle \sim \) è " \sim", se scrivi in Latex; dovrebbe funzionare anche con i \( \displaystyle \$ \) .

[Paolovox]

Non scrivo in Latex e con i $ non funziona.