Il bordo di un quadrato è una curva differenziabile e regolare?

[NRyoma]

Salve a tutti, ho una piccola domanda: il bordo di un quadrato è una curva differenziabile e regolare?
Intuitivamente mi verrebbe da pensare che il problema sta agli angoli, ma come faccio a dimostrarlo?
Grazie per l'aiuto.

[j18eos]

Inizia a disegnare un quadrato, per avere delle coordinate locali su cui lavorare; poi come procederesti?

[NRyoma]

Dato un quadrato di vertici $A(1,0) B(0,1) C(-1,0) D(0,-1)$, considero la parametrizzazione delle 4 rette
retta per $AB$ $\alpha_1(t)=(t,1-t)$ con $t \in (0,1)$
retta per $CD$ $\alpha_2(t,-1-t)$ con $t \in (-1,0)$
retta per $BC$ $\alpha_3(t,1+t)$ con $t \in (-1,0)$
retta per $CD$ $\alpha_4(t,-1+t)$ con $t \in (0,1)$
Le componenti delle parametrizzazioni sono funzioni di classe $C^\infty$; inoltre andando a calcolare $\alpha'$ di ogni parametrizzazione si vede facilmente che sono diversi dal vettore nullo $(0,0) \forall t$. Però così facendo dimostro che ogni singolo lato è una curva differenziabile e regolare e non il quadrato stesso. Come posso procedere?
Grazie.

[j18eos]

Ok, poi calcola (opportunamente) le derivate destre e sinistre negli estremi degli intervalli di definizione!

[NRyoma]

Nei punti $A,B,C,D$ non esiste la derivata. E' una situazione analoga alla funzione $y=absx$ che è derivabile a sinistra e a destra ma non è derivabile in $x=0$. Quindi il quadrato non è una curva regolare

[j18eos]

Sì; però, per essere esatti: esistono le derivate destre e sinistre, ma non coincidono!