da francicko » 11/02/2016, 09:02
Per il secondo limite si ha:
$((x^2+2x+3)+(-3x-2)-(-3x-2))/(x^2-x+1) $ $= ((x^2-x+1)/(x^2-x+1)+(3x+2)/(x^2-x+1))$ $= (1+(3x+2)/(x^2-x+1))$;
Notando che $(3x+2)/(x^2-x+1)~(3x)/x^2~3/x$,
possiamo sostituire ed il nostro limite diventa:
$lim_(x->infty)(1+3/x)^(x+3)$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^x×lim_(x->infty)(1+3/x)^3$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^x×1$ $=lim_(x->infty )(1+3/x)^x$ $=lim_(x->infty)(1+3/x)^(3×x/3) $ $=lim_(x->infty)((1+3/x)^(x/3))^3$ $=e^3$,
avendo osservato naturalmente il noto limite notevole $lim_(x->infty)(1+3/x)^(x/3)=e $.
x@taurus
Naturalmente e' corretto anche il tuo procedimento, solo che dovresti scriverlo in modo piu' chiaro, usando le formule, basta frapporle con il segno del dollaro.
In tal caso si mette il limite nella forma $lim_(x->infty)e^(log(1+3/x)^(x+3)) $ $=lim_(x->infty)e^((x+3)log(1+3/x))$,
ma $log(1+3/x)~3/x$, e sostituendo otteniamo:
$lim_(x->infty)e^((x+3)(3/x))$, a questo punto basta risolvere il limite ad esponente,
$lim_(x->infty)(x+3)(3/x) $ $=lim_(x->infty)(3+9/x)=3$;
Sostituendo ad esponente avremo il valore del nostro limite cioe' $e^3$.
"Anche una sola ingiustizia minaccia la giustizia di tutti."
"Martin Luther King"