Proprietà strana di un gruppo e abelianità

[Descartes]

Salve, sto cercando di ultimare la mia preparazione in vista dell'ormai imminente esame, ma ho ancora un problema che non so bene come prendere:

Sia G un gruppo con la seguente proprietà : per ogni sottoinsieme finito S di G il sottogruppo <S> generato da S è ciclico.
1. Dimostrare che G è abeliano
2. Mostrare che G non è necessariamente ciclico (hint: prendere ad esempio G = $\mathbb{Q}$)

[Martino]

Beh prendi come sottoinsieme finito un insieme con due elementi

[Descartes]

Credo sia così, correggimi se sbaglio:

Siano $x,y\inG$ e sia $S={x,y}$ dunque $S$ è ciclico in quanto finito, pertanto $\exists g \inG | <g> = S$ $\exists n,m \inmathbb{N} | g^n=x, g^m=y$

Considero ora $xy=g^ng^m=g^(n+m)==g^(m+n)=g^mg^n=yx$ in quanto $+$ è abeliana in $\mathbb{N}$

Per quanto riguarda il secondo punto, basta osservare che $\mathbb{Q}$ è ad ideali principali.

[Martino]

Sul punto 1, non ha senso dire che $S$ è ciclico perché in generale non è nemmeno un sottogruppo. L'ipotesi ti assicura che $< S >$ (il sottogruppo generato da $S$) è ciclico. In generale $S ne < S >$. Il resto dell'argomento è giusto.

Quanto a $QQ$, è un campo, i suoi unici ideali sono $\{0\}$ e $QQ$, questo non aiuta molto. Per mostrare che $QQ$ ha la proprietà voluta devi prendere un qualsiasi insieme finito $S$ contenuto in $QQ$ e mostrare che $< S >$ è ciclico.

[Descartes]

Ti ringrazio ancora per la disponibilità, per il secondo punto se io considero $S = {a\_1,...,a\_n}$ allora $<S>$ è ciclico in quanto generato da $mcm(a\_1,...,a\_n)$ giusto?

[Martino]

Cosa sarebbe il mcm di un insieme di numeri razionali?

Dovresti formalizzare meglio la tua idea (che è buona) e scrivere una dimostrazione.

[Descartes]

Allora proverei a definirlo così, osservando che:

$mcm(1/2,1/4)=1/2$ $mcm(1/3,1/5)=1$

Dunque:

siano ${a\_1/b\_1,...,a\_n/b\_n}$ definisco il mio $mcm$ sui razionali seguendo il buon senso:

$mcm(a\_1/b\_1,...,a\_n/b\_n)=(mcm(mcm(b\_1,...,b\_n)a\_1/b\_1,...,mcm(b\_1,...,b\_n)a\_n/b\_n))/(mcm(b\_1,...,b\_n))$

Mi sembra poter funzionare, almeno credo.

[Martino]

Non ho capito niente purtroppo, nemmeno l'esempio che hai fatto all'inizio.

Ti consiglio di cominciare mostrando che $<1/a,1/b> = <1/(mcm(a,b))>$.