Due esercizi sui morfismi di gruppo

[Shocker]

Buonasera


Vorrei sapere se il procedimento usato per risolvere i seguenti esercizi è giusto:

1)Quanti omomorfismi ci sono da $Z_6$ a $S_4$?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Allora i sottogruppi di $Z_6$ sono:
1)$H = {[0]_6}$
2)$K = {[0]_6, [3]_6}$
3)$S = {[0]_6, [2]_6, [4]_6}$
4)$Z_6$
per il primo teorema di omomorfismo sappiamo che se $f:Z_6 \to S_4$ è un morfismo di gruppi allora $\frac{Z_6}{Ker(f)} ~= Im(f)$ quindi dobbiamo cercare i sottogruppi di $S_4$ che hanno ordine rispettivamente: 6, 3, 2 e 1.
Se $Kerf = {[0]_6}$ non ci sono morfismi perché altrimenti $Z_6$, gruppo abeliano, sarebbe isomorfo ad $S_3 < S_4$($S_3$ dovrebbe essere l'unico sottogruppo di ordine $6$ in $S_4$).
Se $Kerf = {[0]_6, [3]_6}$ il sottogruppo di $S_4$ deve avere ordine tre, ora ci sono otto elementi di ordine 3 in $S_4$ e sono: $(123), (132), (124), (142), (143), (134), (243), (234)$ quindi dovrebbero esserci $8$ sottogruppi di ordine $3$ ma in realtà ce ne sono $4$ poiché, ad esempio, $(123)$ ed $(132)$ generano lo stesso sottogruppo. Dato che sono sottogruppi ciclici di ordine $3$ sono isomorfi a $Z_3$ e quindi in totale dovrei avere $2*4 = 8$ morfismi(escludendo il morfismo nullo), no?
Se $Kerf = {[0]_6, [2]_6, [4]_6$ allora ho $9$ gruppi di ordine $2$ infatti in $S_4$ ci sono 6 trasposizioni(che hanno ordine due e ognuna genera un gruppo ciclico unico di quest'ordine) e 3 permutazioni di ordine $2$ composte da due trasposizioni disgiunte, i nove gruppi sono isomorfi a $Z_2$ dunque, escludendo il morfismo nullo, ho $1*9 = 9$ morfismi.
Se $Kerf = { [0]_6}$ allora ho il morfismo nullo.
Quindi in totale ho $18$ morfismi, giusto?

2)Contare i morfismi $f:Z_6->Z_3 \times Z_9$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Stesso identico discorso, ho i soliti 4 sottogruppi di $Z_6$ e devo cercare i sottogruppi di ordine $1, 2, 3, 6$ di $Z_3 \times Z_9$, ora: l'ordine di $Z_3 \times Z_9$ è $27$ quindi non ci sono sottogruppi di ordine $2$ o $6$, il sottogruppo di ordine $1$ è banale ed identifica l'omomorfismo nullo. Quanti sono i sottogruppi di ordine $3$ di $Z_3 \times Z_9$? Se ho fatto bene i conti ho $8$ elementi di ordine $3$: $([0]_3, [3]_9), ([0]_3, [6]_9), ([1]_3, [0]_9), ([1]_3, [3]_9), ([1]_3, [6]_9), ([2]_3, [0]_9), ([2]_3, [3]_9), ([2]_3, [6]_9)$. In totale però ho $4$ sottogruppi isomorfi a $Z_3$ perché ciclici e quindi ho $2*4 = 8$ morfismi, escludendo quello nullo. Quindi in tutto ci sono $9$ morfismi.

Ora... mi sono accorto che se ho $8$ elementi di ordine $3$ allora ci sono $8$ morfismi anche se gli elementi generano sottogruppi uguali, è un caso? O è un fatto generale?
Cioè per contare i morfismi tra gruppi basta contare gli elementi di un certo ordine oppure bisogna sempre esaminare i vari sottogruppi da essi generati?

Spero di non aver sbagliato. Attendo vostre notizie, grazie!


Ciao

[Shocker]

Up.

Nessuno?

[Shocker]

up

[Martino]

Mi sembra tutto giusto.

Se in $G$ hai $k$ elementi di ordine $n$ allora il numero di morfismi iniettivi $f:C_n \to G$ è proprio $k$. Questo è perché $f$ è univocamente determinato dalla scelta dell'immagine di un generatore di $C_n$.

[Shocker]

Mi sembra tutto giusto.

Se in $G$ hai $k$ elementi di ordine $n$ allora il numero di morfismi iniettivi $f:C_n \to G$ è proprio $k$. Questo è perché $f$ è univocamente determinato dalla scelta dell'immagine di un generatore di $C_n$.

Grazie per la risposta!

Provo ad applicare ciò che hai detto su questo esercizio:

Contare i morfismi iniettivi $f:Z_3 \times Z_3 \to S_3 \times Z_15$

Di morfismi iniettivi non ce ne sono perché non ci sono elementi di ordine $9$¹ in $S_3 \times Z_15$(se ho fatto bene i conti!).

Giusto?


Ciao

---

Note

1. $9$ perché $Ker f = {(0,0)}$ poiché $f$ deve essere iniettivo ↑

[Martino]

Provo ad applicare ciò che hai detto su questo esercizio:

Contare i morfismi iniettivi $f:Z_3 \times Z_3 \to S_3 \times Z_15$

Di morfismi iniettivi non ce ne sono perché non ci sono elementi di ordine $9$ in $S_3 \times Z_15$(se ho fatto bene i conti!).

Ciao quello che ho detto non si applica a questo caso perché $Z_3 xx Z_3$ non è un gruppo ciclico.

Dai un'occhiata qui, ci sono tre esercizi segnalati nella sezione "Contare gli omomorfismi tra gruppi".

[Shocker]

Provo ad applicare ciò che hai detto su questo esercizio:

Contare i morfismi iniettivi $f:Z_3 \times Z_3 \to S_3 \times Z_15$

Di morfismi iniettivi non ce ne sono perché non ci sono elementi di ordine $9$ in $S_3 \times Z_15$(se ho fatto bene i conti!).

Ciao quello che ho detto non si applica a questo caso perché $Z_3 xx Z_3$ non è un gruppo ciclico.

Dai un'occhiata qui, ci sono tre esercizi segnalati nella sezione "Contare gli omomorfismi tra gruppi".

Ciao
Grazie per la risposta!
In effetti ho letto troppo rapidamente ciò che mi hai scritto.
Ho letto i topic, tuttavia non riesco a determinare gli automorfismi di $Z_3 \times Z_3$.
A me ne escono $8$: $(0,0)$ viene mandato per forza in $(0, 0)$, $(1,0)$ può essere mandato in $(1,0), (2,0), (0,1), (0,2)$ quindi ho $4$ scelte, mentre $(1,0)$ può essere mandato solo in $2$ elementi quindi ho $8$ automorfismi.
E' corretto? Non sono molto fiducioso, non sono un bravo in combinatoria.
Hai qualche consiglio?
EDIT: rivedendo i calcoli forse ho tralasciato gli altri $4$ elementi di ordine $3$ quindi avrei $8*4 = 32$ morfismi?
Perdona la confusione, non è proprio giornata!

Grazie per la pazienza!

Ciao

[Martino]

Gli automorfismi di $Z_p^n$ sono $Z_p$-lineari (perché ogni elemento di $Z_p$ è una somma di uni), quindi li puoi mettere in corrispondenza esatta con le matrici $n xx n$ invertibili a entrate nel campo $Z_p$. Il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili a entrate in $Z_p$ si indica con $GL(n,p)$. L'ordine di questo gruppo è ben noto, si tratta di $(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$ (scegli la prima colonna non nulla, la seconda linearmente indipendente dalla prima, la terza linearmente indipendente dalle prime due, e così via). Nel tuo caso $n=2$ e $p=3$ quindi hai $(3^2-1)(3^2-3) = 48$ automorfismi.

[Shocker]

Gli automorfismi di $Z_p^n$ sono $Z_p$-lineari (perché ogni elemento di $Z_p$ è una somma di uni), quindi li puoi mettere in corrispondenza esatta con le matrici $n xx n$ invertibili a entrate nel campo $Z_p$. Il gruppo delle matrici $n xx n$ invertibili a entrate in $Z_p$ si indica con $GL(n,p)$. L'ordine di questo gruppo è ben noto, si tratta di $(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})$ (scegli la prima colonna non nulla, la seconda linearmente indipendente dalla prima, la terza linearmente indipendente dalle prime due, e così via). Nel tuo caso $n=2$ e $p=3$ quindi hai $(3^2-1)(3^2-3) = 48$ automorfismi.

Ciao

Questa sì che è una cosa carina!
Penso che la vedrò l'anno prossimo, quest'anno(corso di aritmetica) non abbiamo affrontato il gruppo lineare generale, ci siamo concentrati più su $Z_m, S_n$ e i loro prodotti(in modo molto molto generale, nessun teorema "potente" giusto i rudimenti).

Grazie mille! Mi hai aperto un mondo

Tornando all'esercizio: esiste un solo sottogruppo di ordine $9$ di $S_3 \times Z_15$ che è $A_3 \times Z_3 ~= Z_3 \times Z_3$ quindi ho $48$ morfismi iniettivi, giusto?

Ciao

[Martino]

Giusto!